递归方程组解的渐进阶的求法——母函数法

递归方程组解的渐进阶的求法——母函数法

关于T(n)的递归方程的解的母函数通常设为：

(6.24)

当(6.24)右端由于T(n)增长太快而仅在x=0处收敛时可另设

(6.25)

如果我们可以利用递归方程建立A(x)的一个定解方程并将其解出，那么，把A(x)展开成幂级数，则xⁿ或xⁿ/n!项的系数便是所求的递归方程的解。其渐近阶可接着进行估计。

下面举两个例子加以说明。

例1 考虑线性变系数二阶齐次递归方程

(n-1)T(n)=(n-2)T(n-1)+2T(n-2) ，n≥2 (6.26)

和初始条件T(0)=0，T(1)=1。根据初始条件及(6.26)，可计算T(2)=0，T(3)=T(1)=1。

设{T(n)}的母函数为：

由于T (0)=T (2)=0，T(1)= 1，有 ：

令 B(x)= A (x)/x，即：

那么：

利用(6.26)并代入T (3)= 1，得

即

两边同时沿[0,x]积分，并注意到B(0)=1，有：

把B(x)展开成幂级数，得

从而

最后得

例2 考虑线性变系数一阶非齐次递归方程

D(n)=nD(n-1)+(-1)ⁿ  n≥1 (6.27)

及初始条件D (0)= 1

很明显D(n)随n的增大而急剧增长。如果仍采用(6.24)形式的函数，则(6.24)的右端可能仅在x=0处收敛，所以这里的母函数设为：

用xⁿ/n!乘以(6.27)的两端，然后从1到∞求和得：

化简并用母函数表达，有：

A(x) -1= xA(x)+e^-x-1

或

(1-x)A(x)=e^-x

从而

A(x)=e^-x/(1-x)

展成幂级数，则：

故