hihoCoder Challenge 23, Prob. A
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描述
有一个$n$个点的无向正权图$G$，这个图是连通的，小Y知道这些点两两之间的最短路的长度。
小J想要构造一个新的无向正权图$G'$，使得新图中两两之间的最短路的长度与原图一样，并且边数最少。
输入
第一行一个整数$n$，表示点的个数。
接下来$n$行，每行$n$个整数。第$i$行第$j$个整数表示$i$点到$j$点的在$G$中的最短路长度，保证合法。
$1\le n \le 300$，保证图$G$中最短路长度不超过$10^9$。
输出
一个整数表示新图$G'$的最小的边数。
样例输入
4
0 1 3 6
1 0 2 5
3 2 0 3
6 5 3 0
样例输出
3
Solution
这道题现场卡住了.
首先由题目描述可知原图$G$是连通图.
设$G=G(V,E)$, 现在不知道边集$E$, 只知道最短路矩阵$D$.
先考虑一个简化问题:
对于某条给定的边$(u,v)$, 能否从最短路矩阵判断它是否必需 ("必需"即一定存在于原图中), 如果能, 如何判断?
能. 判断方法: 判断是否 $\exists x \in V \setminus$ ${u, v}$使得$D_{u,v}=D_{u,x}+D_{x,v}$.
证明:
$\forall (u,v) \in E$, 用$w(u,v)$表示边$(u,v)$的长度. 显然$w(u,v) \ge D_{u,v}$. 又依题意, $\forall (u,v), \ w(u,v)>0$.
$D_{u,v}=D_{u,x}+D_{x,v}$ $\Longrightarrow w(u,v) < D_{u,x}, \ w(u, v) < D_{x, v}$.
$\Longrightarrow u \to x, \ x \to v$ 的最短路都一定不包含边 $(u,v)$. (这好像很显然:))
这样就可以放心地将边$(u,v)$从图$G$中删除, 而最短路矩阵不变.
这样就可以得出一个迭代的算法. 而且可以推出:
对于给定的最短路矩阵$D$, 与之对应的边数最少的图是唯一的.
思维链条:
某条边$(u,v)$是否必需由最短路矩阵$D$唯一确定 $\to$ 删去非必需的边后最短路矩阵$D$不变 $\to$ 删掉的边是"独立"的, 互不影响.
删边的独立性直白地说即是：只有当图$G$中存在一条能替代$(u,v)$这条边的路径时才把$(u,v)$删除。
Implementation
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=305;
int d[N][N];
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
cin>>d[i][j];
int res=n*(n-1)/2;
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=i+1; j<n; j++){
for(int k=0; k<n; k++){
if(k!=i && k!=j && d[i][j]==d[i][k]+d[k][j]){
--res;
break;
}
}
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}