莫比乌斯反演的前置知识：https://www.cnblogs.com/yyc-jack-0920/p/10556351.html
杜教筛可以在$O(n^{2/3})$的时间内求出积性函数的前缀和即$\sum\limits_{i=1}^n f(i)$
实现过程需要找到另一个积性函数$g$使得$f*g$为一个方便计算的函数
$\sum f*g=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{d|i} g(d)f(i/d) $
$=\sum\limits_{d=1}^n g(d) \sum\limits_{t=1}^{n/d} f(t)$
$=g(1)\sum\limits_{i=1}^n f(i) + \sum\limits_{d=2}^n g(d) \sum\limits_{i=1}^{n/d} f(i)$
设前缀和为$S(i)$ 即$g(1)S(n)=-\sum\limits_{d=2}^n g(d) S(n/d)+\sum f*g$
这样就写成了一个数论分块的递归形式，复杂度可以证明（
同时，由于杜教筛自带数论分块形式，因此在外面再套一层数论分块并不会影响复杂度
luogu 4213 【模板】杜教筛：
求$\varphi$与$\mu$的前缀和
有结论：$\varphi*1=id$、$\mu *1 =[n=1]$ 直接套用公式即可
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define inf 2139062143 3 #define MAXN 5001001 4 #define MOD 1000000007 5 #define ll long long 6 #define ull unsigned long long 7 #define rep(i,s,t) for(register int i=(s),i##end=(t);i<=i##end;++i) 8 #define dwn(i,s,t) for(register int i=(s),i##end=(t);i>=i##end;--i) 9 #define ren for(register int i=fst[x];i;i=nxt[i]) 10 #define Fill(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 11 #define pls(a,b) ((a+b)%MOD+MOD)%MOD 12 #define mns(a,b) (((a)-(b))%MOD+MOD)%MOD 13 #define mul(a,b) (1LL*(a)*(b)%MOD) 14 #define pii pair<int,int> 15 #define mp(a,b) make_pair(a,b) 16 #define pb(i,x) vec[i].push_back(x) 17 #define fi first 18 #define se second 19 using namespace std; 20 inline ll read() 21 { 22 ll x=0;bool f=1;char ch=getchar(); 23 while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=0;ch=getchar();} 24 while(isdigit(ch)) x=x*10+(ch^48),ch=getchar(); 25 return f?x:-x; 26 } 27 int lmt,ntp[MAXN],p[MAXN],tot;ll mu[MAXN],phi[MAXN]; 28 void mem(int n) 29 { 30 mu[1]=phi[1]=1;rep(i,2,n) 31 { 32 if(!ntp[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1; 33 rep(j,1,tot) if(1LL*i*p[j]>n) break; 34 else 35 { 36 ntp[i*p[j]]=1;if(i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i],phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]]; 37 else {phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;} 38 } 39 } 40 rep(i,1,n) mu[i]+=mu[i-1],phi[i]+=phi[i-1]; 41 } 42 unordered_map<int,ll> ansm,ansp; 43 ll smu(ll n,ll res=0) 44 { 45 if(n<=lmt) return mu[n];if(ansm[n]) return ansm[n]; 46 for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1) r=n/(n/l),res+=smu(n/l)*(r-l+1); 47 return ansm[n]=1LL-res; 48 } 49 ll sphi(ll n,ll res=0) 50 { 51 if(n<=lmt) return phi[n];if(ansp[n]) return ansp[n]; 52 for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1) r=n/(n/l),res+=sphi(n/l)*(r-l+1); 53 return ansp[n]=1LL*n*(n+1)/2-res; 54 } 55 int main() 56 { 57 int T=read(),n;mem(lmt=5000000); 58 while(T--) {n=read();printf("%lld %lld\n",sphi(n),smu(n));} 59 }