最近比较系统地练了练基环树的题，最后在这里总结一波，留一点方法与套路。
首先，基环树的模型应该是比较明显的。和树类比，除了题目中给出一棵树之类的这种很直接的方式，树的有关模型，较常见的有根据某个性质，我们可以得到除了根每个点都能找到唯一对应的父亲。
而基环树除了给出$n$个点$n$条边，比较明显的有每个点对应了一个出点，这样就构成了一棵基环树森林。
大概除了毒瘤题之外，基环树上做做dp就差不多了。
dp的方法一般有两种，本质都是先在子树内dp好，然后扣环，下面只考虑环上的处理：
- 一种是边上带有限制的，一般体现在相邻两个点的某些限制。这时可以随便在环上选一条边，枚举限制生不生效，直接做树形dp就行了。
- 另一种是统计类的，比如求直径之类的。这时通常断环为链，有时需要再复制一遍，在链上dp。
第一种类型的一个典型例子就是2018牛客多校的某题。
题目概述：有$n$件物品，每件物品有一个价格和折扣，两个优惠，可以选择使用折扣或者选择不折扣而送一个其他物品，被送物品不能使用优惠，问凑齐所有物品的最小花费。
每件物品对应了一个附赠的物品，很让人联想到基环树，而且树边上有限制。用$f_{i,0}$表示得到了$i$子树内的物品的最小花费，$f_{i,1}$表示得到了$i$子树内的物品且第$i$件物品不是送来的最小花费。传统的树形dp之后，给不给环上的第一个点限制就决定了环上最后一个点的状态，做两次dp就可以了。
#include <cstdio> #include <queue> #include <iostream> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 100005; const LL INF = 1e17 + 7; int n; int p[N], d[N], to[N], in[N]; int flg[N], vis[N], st[N], tp; LL ans, f0[N], f1[N], g0[N], g1[N]; vector<int> e[N]; queue<int> Q; void Dfs(int x) { f0[x] = p[x] - d[x]; f1[x] = p[x]; for (int v : e[x]) { if (flg[v]) continue; Dfs(v); f0[x] += f0[v]; f1[x] += f0[v]; } for (int v : e[x]) { if (flg[v]) continue; f0[x] = min(f0[x], f1[x] - p[x] - f0[v] + f1[v]); } } LL Solve() { static LL re; g0[1] = f0[st[1]]; g1[1] = f1[st[1]]; for (int i = 2; i <= tp; ++i) { g1[i] = g0[i - 1] + f1[st[i]]; g0[i] = min(g1[i - 1] + f1[st[i]] - p[st[i]], g0[i - 1] + f0[st[i]]); } re = g0[tp]; g0[1] = f1[st[1]] - p[st[1]]; g1[1] = INF; for (int i = 2; i <= tp; ++i) { g1[i] = g0[i - 1] + f1[st[i]]; g0[i] = min(g1[i - 1] + f1[st[i]] - p[st[i]], g0[i - 1] + f0[st[i]]); } return min(re, g1[tp]); } int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &p[i]); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &d[i]); for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d", &to[i]); ++in[to[i]]; flg[i] = 1; e[to[i]].push_back(i); } for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (!in[i]) Q.push(i); } for (; !Q.empty(); ) { int x = Q.front(); Q.pop(); flg[x] = 0; if (--in[to[x]] == 0) Q.push(to[x]); } for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (flg[i] && !vis[i]) { vis[i] = 1; st[tp = 1] = i; Dfs(i); for (int t = to[i]; t != i; t = to[t]) { vis[t] = 1; st[++tp] = t; Dfs(t); } ans += Solve(); } } printf("%lld\n", ans); return 0; }