poj 2229 Sumsets（类似于n的m划分）

•题意

　　将一个数N分解为2的幂之和共有几种分法？

•题解

　　定义dp[ i ]为 i 的分解方案数。

　　初始化dp[0] = 2⁰= 1;

　　状态转移方程为：

　　for i : 1 to N

　　　　若 i 为偶数，则dp[ i ] = dp[ i / 2] + dp[i – 1] ;

　　　　否则dp[i] = dp[ i – 1];

对状态转移方程的理解：

　　打个表先~~~~

　　i　　i 的分解方案

　　1......1

　　2......1+1,2

　　3......1+1+1,2+1

　　4......(2+1+1),(1+1+1+1),(2+2),(4)

　　5......2+1+1+1,1+1+1+1+1,2+2+1,4+1

　　6......2+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1,2+2+1+1,4+1+1,2+2+2,4+2

　　7......(2+1+1+1+1+1),(1+1+1+1+1+1+1),(2+2+1+1+1),(4+1+1+1),(2+2+2),(4+2+1)

　　8......(2+1+1+1+1+1+1),(1+1+1+1+1+1+1+1),(2+2+1+1+1+1),(4+1+1+1+1),(2+2+2),(4+2+1+1),(4+2+2),(2+2+2+2),(4+4),(8)

　　以8的为例，dp[8]=dp[2⁰+7]+dp[2¹* 4];

　　8分解成2的幂之和，只能分解成2⁰, 2¹, 2², 2³之间的加和。

　　如果分解方案中含有2⁰，并且不能出现重复，那可以考虑7的分解方案中的每个方案都+1 <=> 8的含2⁰的分解方案总数（对应表中橘色部分）；

　　因为dp[7]中的分解方案数是不重复的，所以每个方案数+1也是不重复的；

　　那，如何使分解方案中不含有2⁰呢？

　　想一下4的分解方案数是怎么得到的？

　　4分解成2的幂之，只能分解成2⁰, 2¹, 2²之间的加和；

　　如果4中的每个方案都 ×2，那不就正好变成8的分解方案中只不含有2⁰的分解方案了吗（对应表中蓝色部分）？

　　如果 i 为奇数，就不能通过某数 ×2 来得到 i；

　　那也就是说只能通过 (i-1) 方案中每个方案+1 得到 i 的所有分解方案，故dp[ i ]=dp[ i-1]

•Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 const int MOD=1e9;
 5 const int maxn=1e6+10;
 6 
 7 int N;
 8 int dp[maxn];
 9 
10 int main()
11 {
12     scanf("%d",&N);
13     dp[0] = 1; // 2^0
14     for(int i=1;i <= N;++i)
15     {
16         if ((i & 0x1) == 0)//判断i是否为偶数
17             dp[i]=dp[ i / 2]; //将i/2的每个构成数乘以2，得到 i
18         dp[i] += dp[i - 1]; //将i-1的构成数拿过来加一
19         dp[i] %= MOD;
20     }
21     printf("%d\n",dp[N]);
22     return 0;
23 }

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