【网络流】专题总结

发现好久没来写总结了

做了一星期+的网络流还讲了两节课是时候写个总结了

分类：

最大流： 用sap做如果是平面图可以对偶转换再求最短路

最小割： 求法和最大流一样方案可以用bfs求

费用流： 用spfa做如果时间过不了可以用zkw费用流（虽然我还不会- -）

上下界：

建立虚拟源、汇求虚拟源汇最大流若满流则有解

最大流：先按虚拟源汇跑最大流再按原本源汇跑最大流

最小流：先不连原本汇到源的无穷大边按虚拟源汇跑最大流再连原本汇到源的边再跑一次最大流

费用最大\最小流：把上下界最大\最小流的sap改成spfa即可

应用：

减少点的个数：

看《网络流建模汇总》提到如果想不出比较高效的建图方法可以先建一张最简单的图再按一下规律缩点

1.如果几个结点的流量的来源完全相同则可以把它们合并成一个

2.如果几个结点的流量的去向完全相同则可以把它们合并成一个

3.如果从点u到点v有一条容量为∞的边并且点v除了点u以外没有别的流量来源则可以把这两个结点合并成一个

题目：poj 1149

入度&出度：

一些限定入度出度大小并且有一些双向边让你定向的题目

可以先随便定一个方向再把源连到入度大于限定额额度的点把入度小于限定额额度的点连到汇容量为|入度-限定入度|

题目：poj 1637、poj 2699　　

拆点：

在限制点容量的题目可以将一个点拆成两个点将点转换为边即可限制点容量

一些有层次性的题目如不同时间点之间联通性不同可以把一个点拆成若干点

题目：很多题目都要拆点- - 就不列举了

边转换为点：

如果一条边是有决策性的如两点二选一可以把这条边转换为点

再向它连的点各连一条边只给这个点1的流量就能实现二选一的效果

如果必须选某一个可以不连另外一条边

题目：woj 1124

特殊的线性规划：

求不等式组的解其中不等式中的变量都是连续的把不等式左边加上一个yi 使不等式变等式

再把相邻的等式做差这样每个变量在所有的等式中就只会正负各出现一次

把-xi连向xi 常数根据正负连到源或汇跑最大流剩余网络边权即为变量值

SAP代码：

传说中神一般的实现，会背即可

 1 int sap(int t,int delta){
 2     if (t==T) return delta;
 3     int mindis=nodes,sum=0;
 4     for (int i=son[t];i;i=line[i].next){
 5         if (line[i].f>0 && dis[line[i].key]+1==dis[t]){
 6                         int save=sap(line[i].key,min(line[i].f,delta-sum));
 7                         sum+=save;
 8                         line[i].f-=save;
 9                         line[line[i].op].f+=save;
10                         if (dis[S]>=nodes || sum==delta) return sum;
11         }
12         if (line[i].f>0) mindis=min(mindis,dis[line[i].key]);
13     }
14     if (sum==0){
15                 if (!--cnt[dis[t]]) dis[S]=nodes;
16                 else ++cnt[dis[t]=mindis+1];
17     }
18     return sum;
19 }
20 int main(){
21     while (dis[S]<nodes) ans+=sap(S,INF);
22 }

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