2017 国庆湖南 Day4

期望得分：20+40+100=160

实际得分：20+20+100=140

2017 国庆湖南 Day4

破题关键：

f（i）=i

证明：设[1,i]中与i互质的数分别为a1，a2……aφ(i)

那么 i-a1，i-a2，…… i-aφ(i) 也与i互质

所以 Σ ai = i*φ(i)- Σ ai

所以 Σ ai = i*φ(i)/2

所以 f（i）Σai / φ(i) * 2 = i

问题转化为求 Σ i^k

用拉格朗日差值法

我是真没看懂

题解：

2017 国庆湖南 Day4

std：

#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int Mod=998244353;
const int MAXK=1000000;

int power(int x,int k)
{
    int ret=1;
    while (k) {
        if (k&1) ret=1LL*ret*x%Mod;
        x=1LL*x*x%Mod; k>>=1; }
    return ret;
}

int k;

int f[MAXK+10];

int pre[MAXK+10],suf[MAXK+10];

int jc[MAXK+10],K[MAXK+10];

int cnt(int n)
{
    if (n==0) return 0;
    int ans=0;
    if (n<=k+10 || n<=MAXK) {
        for (int i=1;i<=n;i++) ans=(K[i]+ans)%Mod; }
    else 
    {
        pre[0]=1;
        for (int i=1;i<=k+2;i++) pre[i]=1LL*pre[i-1]*(n-i)%Mod;
        
        suf[k+3]=1;
        for (int i=k+2;i>=1;i--) suf[i]=1LL*suf[i+1]*(n-i)%Mod;
        
        int l=k+1,r=0,flag=((k+1)&1)?(-1):(1);
        for (int i=1;i<=k+2;i++) 
        {
            int s=1LL*pre[i-1]*suf[i+1]%Mod,m=1LL*(flag*jc[l]+Mod)*jc[r]%Mod;
            ans=(1LL*f[i]*s%Mod*power(m,Mod-2)%Mod+ans)%Mod;
            l--; r++; flag*=-1; 
        } 
    }
    ans=((ans+K[2])%Mod-1+Mod)%Mod;
    return ans;
}

int L,R;

void init()
{
    cin>>L>>R>>k;
    for (int i=1;i<=MAXK+5;i++) K[i]=power(i,k);
        
    jc[0]=1;
    for (int i=1;i<=k+2;i++) jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%Mod;
    for (int i=1;i<=k+2;i++) f[i]=(f[i-1]+K[i])%Mod;
    
    cout<<(cnt(R)-cnt(L-1)+Mod)%Mod;
    return ;
}

int main()
{
    freopen("count.in","r",stdin);
    freopen("count.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    //fprintf(stderr,"%.3lf\n",1.0*clock()/(1.0*CLOCKS_PER_SEC));
    return 0;
}

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