洛谷割点模板题——传送门
割边：在连通图中，删除了连通图的某条边后，图不再连通。这样的边被称为割边，也叫做桥。
割点：在连通图中，删除了连通图的某个点以及与这个点相连的边后，图不再连通。这样的点被称为割点。
DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树。
树边：在搜索树中的蓝色线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边，也称为父子边
回边：在搜索树中的橙色线所示，可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边，也称为返祖边、后向边
观察DFS搜索树，我们可以发现有两类节点可以成为割点。对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；对非叶子节点u(非根节点)，若其中的某棵子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与该棵子树的节点不再连通；则节点u为割点。对于根结点，显然很好处理；但是对于非叶子节点，怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点(即DFS次序号最小)，那么low[u]的计算过程如下。
对于给的例子，其求出的dfn和low数组如下。
id 1 2 3 4 5 6
dfn 1 2 3 4 5 6
low 1 1 1 4 4 4
可以发现，对于情况2，当(u,v)为树边且low[v]≥dfn[u]时，节点u才为割点。而当(u,v)为树边且low[v]>dfn[u]时，表示v节点只能通过该边(u,v)与u连通，那么(u,v)即为割边。tarjan算法的时间复杂度是O(n+m)的，非常快。
——附带码
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 100001; int n, m, cnt, rp; int next[2 * maxn], to[2 * maxn], head[maxn], low[maxn], dfn[maxn], father[maxn];//father为父节点 vector <int> cut_point; vector < pair <int, int> > cut_edge; void add(int x, int y) { to[cnt] = y; next[cnt] = head[x]; head[x] = cnt++; } void tarjan(int u) { int i, v, child = 0;//child表示当前节点孩子数量 bool flag = 0; dfn[u] = low[u] = ++rp; for(i = head[u]; i != -1; i = next[i]) { v = to[i]; if(!dfn[v]) { child++; father[v] = u; tarjan(v); if(low[v] >= dfn[u]) flag = 1;//割点 if(low[v] > dfn[u]) cut_edge.push_back(make_pair(min(u, v), max(u, v)));//割边 low[u] = min(low[u], low[v]); } else if(v != father[u]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); } //根节点若有两棵或两棵以上的子树则该为割点 //非根节点若所有子树节点均没有指向u的祖先节点的回边则为割点 if((father[u] == 0 && child > 1) || (father[u] && flag)) cut_point.push_back(u); } int main() { int i, j, x, y, s; memset(head, -1, sizeof(head)); scanf("%d %d", &n, &m); for(i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d %d", &x, &y); add(x, y); add(y, x); } for(i = 1; i <= n; i++)//图可能不联通（mdzz的洛谷模板题） if(!dfn[i]) tarjan(i); sort(cut_point.begin(), cut_point.end()); s = cut_point.size(); printf("%d\n", s); for(i = 0; i < s; i++) printf("%d ", cut_point[i]);//输出割点 s = cut_edge.size(); printf("\n%d\n", s); for(i = 0; i < s; i++) printf("%d %d\n", cut_edge[i].first, cut_edge[i].second);//输出割边 return 0; }