编辑距离
关于两个字符串s1,s2的差别，可以通过计算他们的最小编辑距离来决定。
所谓的编辑距离: 让s1和s2变成相同字符串需要下面操作的最小次数。
1. 把某个字符ch1变成ch2
2. 删除某个字符
3. 插入某个字符
例如 s1 = “12433” 和s2=”1233”;
则可以通过在s2中间插入4得到12433与s1一致。
即 d(s1,s2) = 1 (进行了一次插入操作)
编辑距离的性质
计算两个字符串s1+ch1, s2+ch2的编辑距离有这样的性质:
1. d(s1,””) = d(“”,s1) = |s1| d(“ch1”,”ch2”) = （ch1 == ch2） ? 0 : 1;
2. d(s1+ch1,s2+ch2) = min(d(s1,s2)+（ch1==ch2 ）? 0 : 1 ,d(s1+ch1,s2),d(s1,s2+ch2) );
复杂度分析
从上面性质2可以看出计算过程呈现这样的一种结构(假设各个层用当前计算的串长度标记，并假设两个串长度都为 n )
可以看到，该问题的复杂度为指数级别 3 的 n 次方，对于较长的串，时间上是无法让人忍受的。
分析: 在上面的结构中，我们发现多次出现了 (n-1,n-1), (n-1,n-2)……。换句话说该结构具有重叠子问题。再加上前面性质2所具有的最优子结构。符合动态规划算法基本要素。因此可以使用动态规划算法把复杂度降低到多项式级别。
动态规划求解
首先为了避免重复计算子问题，添加两个辅助数组。
一. 保存子问题结果。
M[ |s1| ,|s2| ] , 其中M[ i , j ] 表示子串 s1(0->i) 与 s2(0->j) 的编辑距离
二. 保存字符之间的编辑距离.
E[ |s1|, |s2| ] , 其中 E[ i, j ] =(s[i]== s[j])? 0 : 1
三. 新的计算表达式
根据性质1得到
M[ 0,0] = 0;
M[ s1i, 0 ] = |s1i|;
M[ 0, s2j ] = |s2j|;
根据性质2得到
M[ i, j ] = min( m[i-1,j-1] + E[ i, j ] ,
m[i, j-1] ,
m[i-1, j] );
复杂度
从新的计算式看出，计算过程为
i=1 -> |s1|
j=1 -> |s2|
M[i][j] = ……
因此复杂度为 O( |s1| * |s2| ) ，如果假设他们的长度都为n，则复杂度为 O(n^2)
用C实现的代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 #include<string.h> 4 5 int Min(int a,int b,int c) 6 { 7 int min=a; 8 if(b<min) 9 min=b; 10 if(c<min) 11 min=c; 12 return min; 13 } 14 15 int ComputeDistance(char s[],char t[]) 16 { 17 int n=strlen(s); 18 int m=strlen(t); 19 int i; 20 //没有用二维数组的原因 21 //int d[][]=new int[n+1,m+1]; 22 int **d=(int **)malloc((n+1)*sizeof(int *)); 23 for( i=0;i<=n;i++) 24 { 25 d[i]=(int *)malloc((m+1)*sizeof(int)); 26 } 27 28 if(n==0) 29 return m; 30 if(m==0) 31 return n; 32 for( i=0;i<=n;i++) 33 d[i][0]=i; 34 for(int j=0;j<=m;j++) 35 d[0][j]=j; 36 for( i=1;i<=n;i++) 37 { 38 for(int j=1;j<=m;j++) 39 { 40 if(t[j-1]==s[i-1]) 41 d[i][j]=d[i-1][j-1]; 42 else 43 d[i][j]=Min(d[i-1][j],d[i][j-1],d[i-1][j-1])+1; 44 } 45 } 46 return d[m][n]; 47 } 48 49 int main() 50 { 51 char a[100]; 52 char b[100]; 53 printf("请输入字符串1\n"); 54 scanf("%s",&a); 55 printf("请输入字符串2\n"); 56 scanf("%s",&b); 57 58 int result=ComputeDistance(a,b); 59 printf("%d\n",result); 60 return 0; 61 }