期末季的时候给家里寄了一个微波炉，这几天爸妈终于拆封，开始用微波炉了。加热小笼包、加热凉的菜，只需按几个按钮，好是方便。直到今天早上加热牛奶时才出了意外，2分钟已到，从微波炉中取出牛奶，惊讶地发现它的外壳不是热的——牛奶压根没被加热。究竟是发生了什么事呢？我们很快在牛奶盒侧面找到了“请勿用微波炉加热”这几个大字；接着又很快找到了原因：牛奶盒内表面是铝箔，而众所周知，微波无法穿过铝箔。这件事很快就过去了。
而在吃晚饭的时候，我飘忽不定的思绪又转移到了牛奶盒上。为什么微波无法穿过铝箔呢？除了这一点，用微波炉加热包子以后，为什么外皮不热内馅滚烫？终于抓到一个有趣的问题，我开始思考它背后的物理解释。最先映入脑海的想法是电动力学课上讲过的介质的色散问题。
首先要从微观层面进行定性分析，微波炉之所以加热食物，是因为微波（一种低频电磁波）在穿过食物的时候使分子感应出电偶极矩，从而发生振动或转动；对于一般的原子，电子云也会在微波的影响下偏离平衡位置而感应出电偶极矩，所以也发生振动。而分子的运动的剧烈程度对应着温度的高低。当然，微波也会使铝箔分子振动，问题的关键点在于——微波为什么无法穿过铝箔？容易给出猜测：也许是因为铝箔分子与食物分子的不同性质，或者是因为在更大的尺度上分子的排布不同。
接着，我们要对微波使分子振动作出定量分析。微波是一种低频的电磁波，其波长在1mm到1m之间。我们只考虑对电子的影响。原子是由原子核与电子组成，可以看成是谐振子（这种模型假设只有在经典力学的框架下才是对的，在原子尺度上这样并不对，要考虑量子效应。不过令人吃惊的是，由量子力学推出的公式与下面的公式几乎是一样的），而这些谐振子在电磁波的影响下作受迫振动。电子会偏移其固有的平衡位置而产生一个平均的电偶极矩：
\(\omega\) 为电磁波的频率，\(\omega_0\) 是振子的本征频率，与原子的结构有关；\(\gamma\) 为阻尼系数。这个公式可以通过对谐振子运动方程作傅立叶变换得到。\(\boldsymbol p\) 以及下面的 \(\epsilon(\omega)\) 都是傅立叶变换下频率 \(\omega\) 对应的系数。以及要注意的是，虽然该物理量表达式的结果可能带虚部，但只有实部才是观测到的量，虚部仅仅参与公式的推导和计算。
构成分子的原子的各个电子可能有不同的本征频率。设本征频率为 \(\omega_i\)，阻尼系数为 \(\gamma_i\) 的电子有 \(f_i\) 个，那么介质的介电常数是
再考虑电磁波在介质中的传播，令 \(c'=\sqrt{c/\epsilon_\omega}\)，电磁场应当满足波动方程，以电场为例：
如果电磁波的频率远高于所有电子的本征频率 \(\omega_i\)（注意到，导体中的电子是自由电子，其本征频率可以看成是 \(0\)，所以符合这种情况）。那么在高频极限下，介质的介电常数可以写为
其中 \(\omega_p\) 被称为等离子体频率。我们注意到，当 \(\omega<\omega_p\) 时介电常数为负值，波数 \(k\) 将出现虚部，于是电磁波在通过介质时会指数地衰减，表现为电磁波被介质反射回来。当 \(\omega>\omega_p\) 时，电磁波不会发生衰减，会穿过介质。
金属的等离子体频率处在紫外线到X-射线波段，因此可见光会被金属反弹，紫外线则可以穿过金属，这就是金属的紫外透明现象。这一理论也用来解释为什么高频的电磁波会穿过地球的电离层，而低频的电磁波会被电离层反弹。这也解释了为什么微波无法穿过铝箔，
上面的讨论用了介质色散模型，给出了低频电磁波无法穿过金属的解释。但事实上，微波炉加热食物本身给人更多的困惑。关于微波炉加热包子的时候，内馅比外皮热得更快，一般认为是内馅含水，而水分子更容易被微波炉加热。但为什么微波炉的微波频率要恰巧取在 2450MHz 左右（约波长12cm）？为什么这个频率的温度恰好能有效地加热水？加热食物中不同成分的效果如何？这些问题都需要我们进行定性定量的分析和讨论。
上面的讨论针对的是“电磁波的频率远高于所有电子的本征频率 \(\omega_i\)”的情况，对于食物分子而言，这一条件不再满足。更何况食物不再是均匀介质，上面的介质色散模型或许很难给出具有说服力的论证。幸运的是，我们知道微波炉可以加热牛奶，而牛奶、或者说水，本身是一种均匀介质。当 \(\omega\approx \omega_i\) 的时候，介质的介电常数也将有明显的虚部，介质对该频率电磁波的吸收就会十分明显，我们称这个频率区间为介质的共振吸收区。于是我们有第一个猜测：微波炉产生的微波的频率应设为水的振子频率。然而从下面这张图中我们将看出这个猜测是错的。
上面这张图是从刘川的讲义中抠出来的，图像为水的吸收系数关于波长的函数。图中垂直的彩色条纹对应于可见光的波段。可见，一
般来说水对于电磁波吸收很强；仅仅在可见光波段的狭窄窗口中，水才变得格外透明。微波炉用的微波的波长约100mm，超出了这张图的范围。刘川对于水的介电常数之谜还给出这样的评语：
水的纷繁而神奇的性质至今困扰着科学家们。也许我只好放弃“介质的色散模型”这条路，而去查找与微波炉相关的专业资料
资料1（from wikipedia）：
资料2（from 《Electromagnetics Explained header》by Ron Schmitt）
上面这段文字的翻译（直接机翻了）：有一个流行的神话将微波炉解释为在水分子的特殊共振频率下运行。实际上，这只是一个神话。参考图 15.2，你可以看到在这个频率下没有水的共振。第一个共振峰出现在 1THz 以上，最高损耗发生在红外波段。 2.45 GHz 没有特别的意义，只是它被 FCC 分配为允许微波炉使用。
相关链接：why-are-the-microwaves-in-a-microwave-oven-tuned-to-water/
到这里为止，我们已经对微波炉加热原理有了更深入的认识。我之所以没有继续调研文献是因为，…… 累了…… 以及我拙劣的英语文献检索能力使我的调研效率及其低下，不再想在这上面耗费时间了。不过，思考物理真是件愉快的事。