EM算法入门相关文章翻译与总结-２

Ａndrew Ng 关于EM有两个不错的课件

http://www.stanford.edu/class/cs229/notes/cs229-notes7b.pdf Mixtures of Gaussians and the EM algorithm

http://www.stanford.edu/class/cs229/notes/cs229-notes8.pdf The EM algorithm

和我在1中翻译的ZHAI的文章中用到mixture model不同，作者的例子是mixture of gaussians。

数据点是由一系列高斯分布的混合。

要最大话的似然函数可以表示为

对比下1中提到的公式

直接MLE计算的困难仍然是log(a+b+c..) + log(a2+b2+c2…) log里面的+是个大麻烦。

如果我们知道具体 是啥，即知道了具体是这个k个高斯分布中哪一生成了 ,则有

 

和1中一样的log(a+b)木有了，。。。 有的是log(a) + log(b)

这个情况下再估算参数很简单

现在问题是未知，hidden.. unknown, 那EM之

 

 

E step估算hidden variable 的后验概率。 可看做是 的soft guess!

M step 注意用了而不是确定情况下的 。

与KMEANS相比，KMEANSE是hard cluster assignment c(i),而这里是是soft assignment

关于课件2，EM理性认识

凸函数的性质

 

另外重要的是何时=成立呢，constant!----------------------

 

EM算法推导

这里的思路和1中有什么不同？

 

难于计算，核心是hidden变量 如果被观察到则计算就变的容易。

OK下面也是尝试推导下界，和总结1中证明的推导思路不同而已。

 

Q(i)定义很关键定义为z(i)的分布

 

f(e(x)) >= e(f(x)) log 是concave 函数，另外其它地方是否类似也有用到凹凸函数这个不等式性质的呢，考虑总结1中提到的KL(p||q)>=0 KL(p||q) 定义参考前面的总结《PRML学习笔记-信息论》也是一样的形式p(x)log(q(x)/p(x))求和或者积分

这个推导很牛，因为这样log(a+b…)即log里面的+就木有了！

这里对于任意的z(i)的分布Q（i)我们都给出了一个下界，那么如何选择Q（i)分布？

如果我们现在有对于参数 的猜测，我们很自然的希望取得the lower-bound tight at that value of ,

we’ll make the inequality above hold with equality at our particular （取==了！）,后面我们将会看到这将帮助我们证明EM算法的单调递增性）。

如果我们要取=那么需要constant!

  =C

额，这下和总结1基本对应到一起了吧。

 

  

NG课件始终用这个Qfunction 和前面的略有不同但是个人认为是相同的，因 Q = q * log (a/q) = q * log (a) – q* log(q)后面没有参数 可略去(因为当前步骤M前已经确定了它。。要估计的只存在于分子p(..),

下面NG给的mixture gaussian 例子也证明了这样）。

这样就和前面总结１一致了。

 

算法为什么收敛

  注意  是=而不是>=, 好精致~

再看高斯混合模型

E step is easy

M step

 

注意这里的 ,想想前面总结1中的 是不是一样呢，只是那里是固定好了已经假定。另外注意 和 的区别。

下面还是求偏导数为0即可。

 

  这的思路和1是完全一样的

 

综上，感觉NG的课件比总结1更深入更透彻：）总结1可以看成一个特例简单化了的情形。ＮＧ的证明也感觉更加优美，紧凑。