题目链接：《Humble Numbers》
题意：如果一个数的所有质数因子都来自于 { 2, 3, 5, 7 } 这个集合，就把这个数字叫做“谦逊数”，或者“低调数”（Humble Number），现在给出一个数字 i （1 <= i <= 5842），要求输出第 i 个 humble number。比如说，前 20 个 humble number 是：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27。
分析：这个题目的描述是非常简单的。从 i 的限定范围最大是 5842 以及范例输出来看，很显然出题人暗示了我们这个题目中涉及到的 humber number 不会超出 int 的范围。因此我们可以放心的使用 int，而不用担心超出表示范围。
其次可以很容易的想到，需要一个 int 数组，把需要的所有 humber number 放进去作为供查询的表。但是生成这个表会比较耗时，所以很容易超过 2 秒的运行时间限制。所以我们需要更快的建立这个数组，则观察这个序列，因为所有的数字都是如下形式：
x[i] = (2 ^ k[0]) * (3 ^ k[1]) * (5 ^ k[2]) * (7 ^ k[3]);
这里 k 是一个数组 ( int [ 4 ] )，元素表示 2， 3， 5， 7 这四个因子的幂，因此考虑从 x [ i ] 跳到下一个 x [ i + 1] 时，就是数字的这 4 个因子的幂在发生变化。因此只要知道从 x [ i ] 变化到 x [ i + 1 ] 时，数组 k 如何变化即可。因此我们需要找出前 5842 个 humber number 中的所有规则，这样就可以快速的得到前 5842 个 humber number，组建成我们要查的表。
观察前面几个数字，很容易发现出这些规则，例如：
1->2, 2->3, 3->4, 4->5, 5->6, ...
从 10 到 12 本质上还是应用的 5->6 。因此只有相邻且互质的数字（a, b），才属于我们要找的规则（a -> b），其他的相邻数字都是应用了上述规则中的某一条。
同时这些规则还有优先级的顺序之分，从表面上看，应该是数字 a 和 b 越大，规则越优先。但实际上并非如此，例如：
从 75 到 80 ，应用的实际规则是 15->16 ，而不是 25->27 （这会产生从 75 变成 81，跳过了 80）。因此规则的优先级排序需要按照 a->b 的放大倍数进行从小到大排序。放大倍数（b / a）越小的规则，越优先。考虑到这个规则很多（实际有 76 条），而且涉及的数字很大，所以人工找出所有规则是不现实的。所以我使用一个程序（称之为代码生成器）来专门找出所有的规则，并将其输出成一个函数的代码，函数的名称是 GetNext，含义是根据当前的 humble number ，找出下一个 humble number。如下：
#include <vector> #include <algorithm> #include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> typedef struct tagNODE { int from; int to; double ratio; //= to / from; } NODE; //x1, x2 是否是已经排好序的。 bool IsSuccessive(NODE x1, NODE x2) { return x1.ratio < x2.ratio; } void Init(std::vector<int> &v1, int nSize) { v1.reserve(nSize); v1.clear(); v1.push_back(1); int nNumber = 2; int tmp; while(v1.size() < nSize) { tmp = nNumber; while((tmp % 2) == 0) tmp /= 2; while((tmp % 3) == 0) tmp /= 3; while((tmp % 5) == 0) tmp /= 5; while((tmp % 7) == 0) tmp /= 7; if(tmp == 1) v1.push_back(nNumber); ++nNumber; } } //x1, x2 是否是互质的（没有公共因子） bool no_comm_factor(int x1, int x2) { if(x1 % 2 == 0 && x2 % 2 == 0) return false; if(x1 % 3 == 0 && x2 % 3 == 0) return false; if(x1 % 5 == 0 && x2 % 5 == 0) return false; if(x1 % 7 == 0 && x2 % 7 == 0) return false; return true; } //give x, find k; //x = 2^k[0] * 3^k[1] * 5^k[2] * 7^k[3]; void GetK(int x, int k[4]) { memset(k, 0, sizeof(int) * 4); while((x & 1) == 0) { x /= 2; k[0]++; } while(x % 3 == 0) { x /= 3; k[1]++; } while(x % 5 == 0) { x /= 5; k[2]++; } while(x % 7 == 0) { x /= 7; k[3]++; } } int main(int argc, char* argv[]) { std::vector<int> v1; //计算出前 5842 个 humber number，这一步需要花比较长的时间。 Init(v1, 5842); //找出所有策略（即找出所有的相邻的互质的 humber number 对）。 std::vector<NODE> nodes; for(int i = 5841; i > 0; --i) { if(no_comm_factor(v1[i - 1], v1[i])) { NODE item; item.from = v1[i - 1]; item.to = v1[i]; item.ratio = item.to * 1.0 / item.from; nodes.push_back(item); } } //按照放大倍数从小到大进行规则排序。 std::sort(nodes.begin(), nodes.end(), IsSuccessive); int iRule = 0; int k1[4], k2[4]; char buf[1024], *pos; FILE *fp = fopen("GetNextK_code.cpp", "w"); fputs("void GetNext(int* k)\n{\n", fp); typename std::vector<NODE>::const_iterator it; for(it = nodes.begin(); it != nodes.end(); ++it) { ++iRule; GetK(it->from, k1); GetK(it->to, k2); if(iRule == 1) strcpy(buf, "\tif("); else if(iRule == nodes.size()) strcpy(buf, "else"); else strcpy(buf, "\telse if("); pos = buf + strlen(buf); if(k1[0]) { sprintf(pos, "k[0] >= %d && ", k1[0]); pos += strlen(pos); } if(k1[1]) { sprintf(pos, "k[1] >= %d && ", k1[1]); pos += strlen(pos); } if(k1[2]) { sprintf(pos, "k[2] >= %d && ", k1[2]); pos += strlen(pos); } if(k1[3]) { sprintf(pos, "k[3] >= %d && ", k1[3]); pos += strlen(pos); } if(iRule == nodes.size()) { //最后一条规则 sprintf(pos, " //(rule %d) %d -> %d (%lf);\n\t{\n", iRule, it->from, it->to, it->ratio); } else { pos -= 4; //remove " && "; sprintf(pos, ") //(rule %d) %d -> %d (%lf);\n\t{\n", iRule, it->from, it->to, it->ratio); } pos += strlen(pos); //From if(k1[0]) { sprintf(pos, "\t\tk[0] -= %d;\n", k1[0]); pos += strlen(pos); } if(k1[1]) { sprintf(pos, "\t\tk[1] -= %d;\n", k1[1]); pos += strlen(pos); } if(k1[2]) { sprintf(pos, "\t\tk[2] -= %d;\n", k1[2]); pos += strlen(pos); } if(k1[3]) { sprintf(pos, "\t\tk[3] -= %d;\n", k1[3]); pos += strlen(pos); } //To if(k2[0]) { sprintf(pos, "\t\tk[0] += %d;\n", k2[0]); pos += strlen(pos); } if(k2[1]) { sprintf(pos, "\t\tk[1] += %d;\n", k2[1]); pos += strlen(pos); } if(k2[2]) { sprintf(pos, "\t\tk[2] += %d;\n", k2[2]); pos += strlen(pos); } if(k2[3]) { sprintf(pos, "\t\tk[3] += %d;\n", k2[3]); pos += strlen(pos); } strcpy(pos, "\t}\n"); fputs(buf, fp); fflush(fp); } fputs("}\n", fp); fclose(fp); return 0; }