LCT（Link Cut Tree）总结

首先介绍一下链剖分的概念
链剖分，是指一类对树的边进行轻重划分的操作，这样做的目的是为了减少某些链上的修改、查询等操作的复杂度。
目前总共有三类：重链剖分，实链剖分和并不常见的长链剖分。

重链剖分

实际上我们经常讲的树剖，就是重链剖分的常用称呼。
对于每个点，选择最大的子树，将这条连边划分为重边，而连向其他子树的边划分为轻边。
若干重边连接在一起构成重链，用树状数组或线段树等静态数据结构维护。
这里就不赘述；

实链剖分

同样将某一个儿子的连边划分为实边，而连向其他子树的边划分为虚边。
区别在于虚实是可以动态变化的，因此要使用更高级、更灵活的Splay来维护每一条由若干实边连接而成的实链。
基于性质更加优秀的实链剖分，LCT(Link-Cut Tree)应运而生。
LCT维护的对象其实是一个森林。
在实链剖分的基础下，LCT资磁更多的操作

查询、修改链上的信息（最值，总和等）
随意指定原树的根（即换根）
动态连边、删边
合并两棵树、分离一棵树
动态维护连通性
更多意想不到的操作（可以往下滑一滑）

LCT的主要性质如下：

每一个Splay维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历Splay得到的每个点的深度序列严格递增。
比如有一棵树，根节点为同放在一个Splay中（存在深度相同的点）
每个节点包含且仅包含于一个Splay中

边分为实边和虚边，实边包含在Splay中，而虚边总是由一棵Splay指向另一个节点（指向该Splay中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲）。
因为性质2，当某点在原树中有多个儿子时，只能向其中一个儿子拉一条实链（只认一个儿子），而其它儿子是不能在这个Splay中的。
那么为了保持树的形状，我们要让到其它儿子的边变为虚边，由对应儿子所属的Splay的根节点的父亲指向该点，而从该点并不能直接访问该儿子（认父不认子）。

各种操作

LCT核心操作，也是最难理解的操作。其它所有的操作都是在此基础上完成的。
因为性质3，我们不能总是保证两个点之间的路径是直接连通的（在一个Splay上）。
access即定义为打通根节点到指定节点的实链，使得一条中序遍历以根开始、以指定点结束的Splay出现。
所以还是来几张图吧。
下面的图片参考YangZhe的论文
有一棵树，假设一开始实边和虚边是这样划分的（虚线为虚边）

LCT（Link Cut Tree）总结

那么所构成的LCT可能会长这样（绿框中为一个Splay，可能不会长这样，但只要满足中序遍历按深度递增（性质1）就对结果无影响）

LCT（Link Cut Tree）总结

现在我们要的路径拉起来变成一条Splay。
因为性质2，该路径上其它链都要给这条链让路，也就是把每个点到该路径以外的实边变虚。
所以我们希望虚实边重新划分成这样。

$a c c e s s (N)$

然后怎么实现呢？
我们要一步步往上拉。
首先把（认父不认子）
然后就变成了这样——

$s p l a y (N)$

我们接着把N，满足性质1。
然后就变成了这样——

$N$

I。

LCT（Link Cut Tree）总结

H。

LCT（Link Cut Tree）总结

A−N的路径已经在一个Splay中了，大功告成！
代码其实很简单。。。。。。循环处理，只有四步——

转到根；
换儿子；
更新信息；
当前操作点切换为轻边所指的父亲，转1

1 inline void access(int x){
2     for(int y=0;x;y=x,x=f[x])
3         splay(x),c[x][1]=y,pushup(x);//儿子变了，需要及时上传信息
4 }

View Code