前言
\(O(n\log n)\)的。在筛素数、字符串连续重复子串等很多算法中都有用到，用处之广，性能之优。今天不妨来证明下这个等价式。
\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\)
分析
\(O(\ln n)\)——式子1.
为了证明式子1，需要证明4个定理：
1. 确界存在定理
2. 单调有界数列必定收敛
\(\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)单调减少，两者收敛于同一极限
\(b_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\) 收敛
确界存在定理——实数系连续性定理
描述：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。
http://baike.baidu.com/link?url=NojNWL0qcJWW20mxekU1GcfeD1Tp-0-JtF4oyRio7w9Th-ifVdybvf3PaSzmZKXZywk9mCGnlQ9mkPk-NySvn1b_DUqfs-Boez0kGdtwwgN9cgLyW4xYJfHUVGhdiIHQh3hilNBwuRJxARBOsGkqrSpDfuuEwxa56NjmcEgwrlSiddNVOjmmH6WirfboiLNMPo0a06RFoeFRasTvJSUaPa
" target="_blank">百度百科关于确界存在定理
单调有界数列必定收敛
描述：单调递增且有上界数列必定收敛，单调递减且有下界数列必定收敛
证明：
\(\beta\)，满足：
\(\forall n\in N^+:x_n\leq \beta;\)
\(\forall \epsilon>0,\exists x_{n_0}:x_{n_0}>\beta-\epsilon。\)
\(\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=\beta\)
当数列单调递减且有下界时，同理。
\(\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\}\)单调减少，两者收敛于同一极限
证明：
\(\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}\leq\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\)得到
\(x_n=\{(1+\frac{1}{n})^n\}\cdot1\leq [\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}]^{n+1}=x_{n+1}\)
\(\frac{1}{y_n}=(\frac{n}{n+1})^{n+1}\cdot 1\leq[\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}]^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}}\)
\(\{y_n\}\)都收敛（单调有界数列必收敛）。
\(\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=e\)
\(e=2.718\ 281\ 828\ 459\cdots\)是一个无理数。以\(e\)为底的对数称为自然对数，通常即为\(\ln x(=\log_ex)\)。
\(b_n=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n\) 收敛
证明：
\(\frac{1}{n+1}<\ln \frac{n+1}{n}<\frac{1}{n}\)。于是有：
\(b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}<0\)
\(b_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\ln n>\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}+\ldots+\ln \frac{n+1}{n}-\ln n=\ln (n+1)-\ln n>0\)
\(\{b_n\}\)单调减少有下界，从而收敛。（单调有界数列必收敛）
总结
\(O(n\log n)\)