强连通分量、割点、桥

一、强连通分量

 Gt.

1.1 有向图的一些定理

1. 有向无环图中唯一出度为0的点，一定可以由任何点出发到达 
       图中节点的数目为有限多个，而且无环，因此从任何点出发往前走，一定终止于出度为0的点，否则走N+1步（N为图中节点的数目），则必然有一个点被走了两次，形成了环，与无环矛盾！

2. 有向无环图中所有入度不为0的点，一定可以由某个入度为0的点出发可达 
       由于无环，所以从任何入度不为0的点往回走，必然终止于一个入度为0的点。

1.2 强连通分量的求解

    一个有向图G可以存在多个极大连通子图，即多个强连通分支。求一个有向图的强连通分支的方法主要有：Korasaju算法和Tarjan算法。

 
3. 第2步中产生的标记值相同的节点构成深度优先森林中的一棵树，也即一个强连通分量

 
    （2）如果一个节点u，从其出发进行的DFS已经全部完成并回到u，而且此时 low[u] == dfn[u]，说明u可达的所有节点，都不能到达任何比u早的节点——那么，该节点u就是一个强连通分量在DFS搜索树中的根。此时，显然栈中u上方的节点，都是不能到达比u早的节点的。将栈中节点弹出，一直弹到u（包括u），弹出的节点就构成了一个强连通分量。

void Tarjan(int u){
    dfn[u] = low[u] = ++index;
    stack.push(u);
    for each(u,v) in E{
        if (v is not visited){
            Tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        }else if (v in stack){
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (dfn[u] == low[u]){ //u是一个强连通分量的根
        repeat
            v = stack.pop
            print v
        until (u == v)
    }//退栈，把整个强连通分量都弹出来
}

 

二、割点和桥

 
    无向连通图中，如果删除某边后，图变成不连通，则称该边为桥

求割点和桥的Tarjan算法

 
（2）u不为树根，且存在(u,v)为树枝边（或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲），使得 dfn(u) <= low(v)

 
(u,v)为树枝边，且满足dfn(u) < low(v)。注意，(u,v)不能有重边。

Tarjan算法在DFS过程中判断割点或桥

void Tarjan(u){
   dfn[u] = low[u] = ++index;
   for each(u,v) in E{
        if (v is not visited){
            Tarjan(v)
            low[u] = min(low[u], low[v])
            if(d[u] < low[v])
                （u，v）为桥
        }else if (v 不是 u的父节点）{
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (u 为根）
        u是割点 <=> u 有至少两个子节点
    else
        u是割点 <=> u 有一个子节点v，满足 dfn[u] <= low[v]
}

 

 
    找桥的时候，需要注意有无重边，若有重边，则不是桥。

三、无向连通图点双连通分支

 
3. 割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只能属于一个点双连通分支

四、无向连通图边连通分支

 
    桥不属于任何一个边连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边连通分支。