【3D Math Keynote 2】
1、方向（diretion），指的是前方朝向。方位（orientation），指的是head、pitch、roll。
2、欧拉角的缺点：
1）给定方位的表达式不惟一。
例如，pitch 135 = heading180 + pitch 45 + bank 180。
通过将 heading、bank 限制在 +180~-180度，pitch限制在+90~-90度即可解决不惟一的问题。
2）两个角度间插值非常困难。
3、复数的共轭
复数的模。
4、复数集存在于一个2D平面上，可以认为这个平面有2个轴：实轴、虚轴。
四元数有3个虚部，i、j、k。
绕向量 n 旋转 0 度的四元数：
q与-q代表的实际角位移是相同的，将0 加上360度，不会改变q的角位移，但q的四个分量都变负了。所以任意角位移有2种四元数的表示法。
四元数也有模。
5、四元数的共轭：
四元数的逆：
当 |q| 为1时，四元数的共轭，就是四元数的逆。
单位四元数：[1, 0]
四元数逆意味着向相反的方向旋转相同的角度。
6、四元数乘法。
四元数乘法满足结合律，不满足交换律。
四元数叉乘的模等于模的积：
四元数逆的性质：
7、四元数旋转公式：
下例，先执行a旋转，再执行b旋转：
8、四元数点乘。结果是一个标量。
9、四元数的对数。引入变量 alpha = 0/2
指数公式为：
9.1、四元数求幂。我们看看它的数学定义。
结合9中的公式，上式可以推导为 exp(t[0 alpha*n])，也就是 q^t次方，其实是 alpha 乘以了t。所以q^t实际上是 [cos(t*alpha) n.sin(t*alpha)]。
下述代码使用上述原理，计算四元数 q 的 t 次方的值。原理是让角度 alpha * t。
上面的 if 是用于避免单位四元数[1 0]的情况，单位四元数放大 t 倍，还是单位四元数。
10、slerp 避免了欧拉角插值的所有问题。四元数插值的理论：
旋转插值图解：
由相似三角形原理，可以求出 k0、k1。
所以 V(t) 可以表示为：
扩展到四元数即为：
slerp 的完整代码如下：
上述实现用了一个书上未证明的公式，四元数的点乘等于夹角的 cos。
11、squard 是四元数的样条插值。需要引入控制点：
可以看到，Si的计算需要引用 qi-1、qi、qi+1。所以在计算转变时，实际需要四个 q点。
样条插值轨迹为：
12、从欧拉角到矩阵。
从惯性坐标系到物体坐标系非常容易，将3个轴轴的旋转矩阵相乘即可。
而从物体坐标系到惯性坐标系，取上面矩阵的转置矩阵即可。
13、从矩阵到欧拉角
上面求解出了 pitch，也就推出了 cosp 的值。从而根据 m13、m33 可以推出 sinh、cosh 的的值，然后使用 atan2 即可计算出 h。
用同样的方式，可以用m21、m22解得 bank。
若 cosp 为0，则可推出 p 是+/- 90，b 为0。从而可以使用下面的值化简公式：
通过 m11、m31 可计算出h。
14、实现从矩阵解出欧拉角的算法。
// 设矩阵保存在下面这些变量中 float m11, m12, m13; float m21,m22,m23; float m31,m32,m33; // 以弧度形式计算欧拉角并存在以下变量中 float h,p,b; // 从m23计算pitch, 小心 asin() 的域错误，因浮点计算我们允许一定的误差 float sp = -m23; if (sp <= -1.0f){ p = -1.570796f; // -pi/2 }else if (sp >= 1.0){ p = 1.570796; // pi/2 } else { p = asign(sp); } // 检查万象锁的情况，允许一些误差 if (sp > 0.9999f){ // 向正上或正下看 // 将 bank 置零，赋值给 heading b = 0.0f; h = atan2(-m32, m11); } else { // 通过 m12 和 m33 计算heading h = atan2(m12, m33); b = atan2(m21, m22); }