引用：刘聪《浅谈数位类统计问题》
在信息学竞赛中，有这样一类问题：求给定区间中，满足给定条件的某个 D 进制数或此类数的数量。所求的限定条件往往与数位有关，例如数位之和、指定数码个数、数的大小顺序分组等等。题目给定的区间往往很大，无法采用朴素的方法求解。此时，我们就需要利用数位的性质， 设计 log(n)级别复杂度的算法。 解决这类问题最基本的思想就是 “逐位确定”的方法。下面就让我们通过几道例题来具体了解一下这类问题及其思考方法。
SPOJ-2319 Sequence
题意：给定所有 K 位二进制数：0,1,…,2^K-1。你需要将它们分成恰好 M 组，每组都是原序列中连续的一些数。设 Si(1 ≤ i ≤ M)表示第 i 组中所有数的二进制表示中 1 的个数，S 等于所有Si中的最大值。你的任务是令 S 最小。
分析：二分枚举每组含有的1的个数的上限，通过判定该值是否满足的情况下最终得到最优解。判定的过程是一个贪心过程，即在已知某组1个数上限的情况下，使得一组的中的1尽可能的多，具体而言程序需要完成这几个功能：
1.查询[1, x]之间的所有数中1的个数：count(x)
2.查询1的个数小于 y 的[1, x]区间中最大的x：max(x) 满足 count(x) <= y
这样对于枚举的一个值，进行一个最小化的分组，然后判定该分组数是否小于题目所给定的即可。第一个功能函数很好解决，第二个的话刚开始的时候是二分去找，这样时间复杂度受不了，相比逐位确定多了常数。逐位确定方式是，从高位开始一次试探该位为1是否可行，如果可能的话就将该位置1，当有一个问题就是某位如果是1，那么后面的取值将影响该位1出现的次数，因此就要设计一个累加的计数变量，表示该位之前有多少个1出现，如果某位为1，其对前面出现每一个1贡献该位的位权。
这题使用网上的大数模板也是出了问题，在大数减法里面一个变量使用错误，郁闷......程序跑了27S+，效率确实不是很高，不过打表输出应该也可以吧。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define MAXN 9999 #define MAXSIZE 10 #define DLEN 4 class BigNum { private: int a[500]; //可以控制大数的位数 int len; //大数长度 public: BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); } //构造函数 BigNum(const int); //将一个int类型的变量转化为大数 BigNum(const char*); //将一个字符串类型的变量转化为大数 BigNum(const BigNum &); //拷贝构造函数 BigNum &operator=(const BigNum &); //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算 friend istream& operator>>(istream&, BigNum&); //重载输入运算符 friend ostream& operator<<(ostream&, BigNum&); //重载输出运算符 BigNum operator+(const BigNum &) const; //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算 BigNum operator-(const BigNum &) const; //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算 BigNum operator*(const BigNum &) const; //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算 BigNum operator/(const int &) const; //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算 BigNum operator^(const int &) const; //大数的n次方运算 int operator%(const int &) const; //大数对一个int类型的变量进行取模运算 bool operator>(const BigNum & T)const; //大数和另一个大数的大小比较 bool operator<(const BigNum & T) const; bool operator==(const BigNum & T) const; bool operator>(const int & t)const; //大数和一个int类型的变量的大小比较 bool operator<(const int &t) const; bool operator==(const int &t) const; void print(); //输出大数 }; bool BigNum::operator==(const BigNum & T) const { return !(*this > T) && !(T > *this); } bool BigNum::operator==(const int &t) const { BigNum T = BigNum(t); return *this == T; } bool BigNum::operator<(const BigNum & T) const { return T > *this; } bool BigNum::operator<(const int &t) const { return BigNum(t) > *this; } BigNum::BigNum(const int b) //将一个int类型的变量转化为大数 { int c,d = b; len = 0; memset(a,0,sizeof(a)); while(d > MAXN) { c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1); d = d / (MAXN + 1); a[len++] = c; } a[len++] = d; } BigNum::BigNum(const char*s) //将一个字符串类型的变量转化为大数 { int t,k,index,l,i; memset(a,0,sizeof(a)); l=strlen(s); len=l/DLEN; if(l%DLEN) len++; index=0; for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN) { t=0; k=i-DLEN+1; if(k<0) k=0; for(int j=k;j<=i;j++) t=t*10+s[j]-'0'; a[index++]=t; } } BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len) //拷贝构造函数 { int i; memset(a,0,sizeof(a)); for(i = 0 ; i < len ; i++) a[i] = T.a[i]; } BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n) //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算 { int i; len = n.len; memset(a,0,sizeof(a)); for(i = 0 ; i < len ; i++) a[i] = n.a[i]; return *this; } istream& operator>>(istream & in, BigNum & b) //重载输入运算符 { char ch[MAXSIZE*4]; int i = -1; in>>ch; int l=strlen(ch); int count=0,sum=0; for(i=l-1;i>=0;) { sum = 0; int t=1; for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10) { sum+=(ch[i]-'0')*t; } b.a[count]=sum; count++; } b.len =count++; return in; } ostream& operator<<(ostream& out, BigNum& b) //重载输出运算符 { int i; cout << b.a[b.len - 1]; for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--) { cout.width(DLEN); cout.fill('0'); cout << b.a[i]; } return out; } BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const //两个大数之间的相加运算 { BigNum t(*this); int i,big; //位数 big = T.len > len ? T.len : len; for(i = 0 ; i < big ; i++) { t.a[i] +=T.a[i]; if(t.a[i] > MAXN) { t.a[i + 1]++; t.a[i] -=MAXN+1; } } if(t.a[big] != 0) t.len = big + 1; else t.len = big; return t; } BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const //两个大数之间的相减运算 { int i,j,big; bool flag; BigNum t1,t2; if(*this>T) { t1=*this; t2=T; flag=0; } else { t1=T; t2=*this; flag=1; } big=t1.len; for(i = 0 ; i < big ; i++) { if(t1.a[i] < t2.a[i]) { j = i + 1; while(t1.a[j] == 0) j++; t1.a[j--]--; while(j > i) t1.a[j--] += MAXN; t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i]; } else t1.a[i] -= t2.a[i]; } t1.len = big; while(t1.a[t1.len - 1] == 0 && t1.len > 1) { t1.len--; big--; } if(flag) t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1]; return t1; } BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const //两个大数之间的相乘运算 { BigNum ret; int i,j,up; int temp,temp1; for(i = 0 ; i < len ; i++) { up = 0; for(j = 0 ; j < T.len ; j++) { temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up; if(temp > MAXN) { temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1); up = temp / (MAXN + 1); ret.a[i + j] = temp1; } else { up = 0; ret.a[i + j] = temp; } } if(up != 0) ret.a[i + j] = up; } ret.len = i + j; while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1) ret.len--; return ret; } BigNum BigNum::operator/(const int & b) const //大数对一个整数进行相除运算 { BigNum ret; int i,down = 0; for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--) { ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b; down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b; } ret.len = len; while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1) ret.len--; return ret; } int BigNum::operator %(const int & b) const //大数对一个int类型的变量进行取模运算 { int i,d=0; for (i = len-1; i>=0; i--) { d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b; } return d; } BigNum BigNum::operator^(const int & n) const //大数的n次方运算 { BigNum t,ret(1); int i; if(n<0) exit(-1); if(n==0) return 1; if(n==1) return *this; int m=n; while(m>1) { t=*this; for( i=1;i<<1<=m;i<<=1) { t=t*t; } m-=i; ret=ret*t; if(m==1) ret=ret*(*this); } return ret; } bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const //大数和另一个大数的大小比较 { int ln; if(len > T.len) return true; else if(len == T.len) { ln = len - 1; while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0) ln--; if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln]) return true; else return false; } else return false; } bool BigNum::operator >(const int & t) const //大数和一个int类型的变量的大小比较 { BigNum b(t); return *this>b; } void BigNum::print() //输出大数 { int i; printf("%d", a[len-1]); for (int i = len-2; i >= 0; --i) { printf("%04d", a[i]); } puts(""); } //---------------------大数分割线------------------------// const int N = 115; int K, M; BigNum _pow[N]; BigNum last[N]; BigNum f[N]; // f[i]表示i位完全可以取得的情况下含有1的个数 bool fcal[N]; // 用以记录f[i]是否已经被计算过 int bit[N]; BigNum getone(int p, bool e) { if (p == -1) return 0; if (!e && fcal[p]) return f[p]; int LIM = e ? bit[p] : 1; BigNum sum = 0; for (int i = 0; i <= LIM; ++i) { sum = sum + getone(p-1, e&&i==LIM); if (i == 1) { // 如果枚举的该位为0 if (e&&i==LIM) { sum = sum + last[p-1] + 1; } else { sum = sum + _pow[p]; } } } if (!e) { f[p] = sum; fcal[p] = true; } return sum; } BigNum count(BigNum x) { // 1-x之间的数共有多少个1 int idx = 0; if (x == 0) return BigNum(0); while (!(x == 0)) { bit[idx++] = x % 2; x = x / 2; } last[0] = bit[0]; for (int i = 1; i < idx; ++i) { if (bit[i]) last[i] = _pow[i] + last[i-1]; else last[i] = last[i-1]; } return getone(idx-1, true); } BigNum find(BigNum x) { // 找到尽可能大的一个数k使得[1-k]中1的个数不超过x BigNum ret = 0; int tot = 0; x = x + 1; for (int i = K-1; i >= 0; --i) { ret = ret * 2; BigNum tmp; if (i > 0) tmp = f[i-1]+_pow[i]*tot+1; else tmp = _pow[i]*tot+1; if (x > tmp) { ret = ret + 1; ++tot; x = x-tmp; } } return ret; } bool check(BigNum mid) { int group = 0; BigNum sta = 1; while (_pow[K] > sta) { sta = find(count(sta-1)+mid) + 1; ++group; if (group > M) break; } return group <= M; } int main() { memset(fcal, 0, sizeof (fcal)); _pow[0] = 1; for (int i = 1; i < 110; ++i) _pow[i] = _pow[i-1] * 2; while (scanf("%d %d", &K, &M) != EOF) { BigNum l = 1, r = count(_pow[K]), ret = 1; while (!(l > r)) { // 枚举每个分组中1的上限数量 BigNum mid = (l + r) / 2; if (check(mid)) { // 收缩限制 ret = mid; r = mid - 1; } else { // 由于枚举的1的个数不足以分成M组，因此应放宽限制 l = mid + 1; } } ret.print(); } }