欧几里得+拓展欧几里得

（1）知识支持：

　　定理1：

　　　　Gcd(a,b) = Gcd(-a,b) = Gcd(a,-b) = Gcd( |a| , |b| )。

　　定理5：

　　　　设 Gcd(m,a) = 1，则有 Gcd(m,ab) = Gcd(m,b)，这就是说“求 m 与另一个数的最大公约数时，可以把另一个数中与 m 互素的因数去掉”。

　　定理6：

　　　　设 Gcd(m,a) = 1，那么若 m | ab，则 m | b，这就是说“若一个数被 m 整除，则把这个数中与 m 互素的因数去掉后仍被 m 整除”。

　　定理7：

　　　　Lcm(a,b)*Gcd(a,b) = |ab|。

 

 

 

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(2)欧几里得算法：

　　欧几里得算法是用来求 a 和 b 的最大公公约数（Greatest Common Divisor）的算法。

　　那么由欧几里得算法可得：

　　　　Gcd(a,b) = Gcd(b%a , a);

证明欧几里得算法正确性的关键是证明 Gcd(a,b)=Gcd(b%a,a);
令x=Gcd(a,b),y=Gcd(b%a,a);
b%a可表示为a和b的线性组合：b%a=b-(b/a)*a;
因为 a%x=0,b%x=0;
所以 (b%a)%x=0;
故y%x=0;
又(b%a)%y=[b-(b/a)*a]%y=0,a%y=0;
根据同余定理可得
b%y-(b/a)*a%y=0,所以b%y=(b/a)*a%y=0;
所以x%y=0;
所以Gcd(a,b)=Gcd(b%a,a);
证毕;

证明