素质系列(一)-数学魅力(三)：数学归纳法

假设P(n)是一个命题，比如说P(n)="n(n+3)是一个偶数。"那么如果我们要证明P(n)对所有的n都成立的一个重要方法是：

1)证明p(1)成立

2)给出一个p(1),p(2)...p(n)都为真，则p(n+1)也为真的证明。

现在有一个例子如下：

1 = 1 * 1

1 + (2 * 2 - 1) = 2 * 2

1 + 2 + (2 * 3 - 1) = 3 * 3

....

1 + ... +(2 * n - 1) = n * n

 好的，那么p(n) = "1 + ... +(2 * n - 1) = n * n"

1)  p(1) = "1 = 1 * 1 " 显然是正确的。

2)  现在我们要证明如果p(1),p(2)...p(n)都为真，则p(n+1)也为真

由于p(n)为真，于是有 1 + ... +(2 * n - 1) = n * n

在等式的两边都加上(2n + 1)结果是

1 + ... +(2 * n - 1) + (2n + 1)  = n * n + 2n + 1

即(1 + ... +(2 * n - 1) ) + (2n + 1) = n * n + 2n + 1

 这显然是成立的.