首先我们根据这个分割的过程可以发现：总得分等于k+1段两两的乘积的和（乘法分配律），也就是说与分割顺序是无关的。
再对乘积进行重分组（还是乘法分配律）我们可以转化为：$ans=\sum$第 i 段×前 i-1 段的和
所以我们就可以以分割次数为阶段进行DP啦～
令f[i][j]表示将前 j 个数分成 i 段的最大得分，那么就有$$f[i][j]=max\{ f[i-1][k]+sum[k]×(sum[j]-sum[k]) \}$$我们观察到这个式子其实是很像斜率优化的……而且sum明显满足单调性！所以来推一下决策单调性的式子=。=
当决策k1<k2时：
$$ \begin{aligned} f[i-1][k1]+sum[k1]*(sum[j]-sum[k1]) &< f[i-1][k2]+sum[k2]*(sum[j]-sum[k2]) \\ sum[j]*(sum[k1]-sum[k2]) &< f[i-1][k2]-f[i-1][k1]+sum[k1]^2-sum[k2]^2 \\ sum[j] &> \frac{f[i-1][k2]-f[i-1][k1]+sum[k1]^2-sum[k2]^2}{sum[k1]-sum[k2]} \end{aligned}$$
这题我被坑在：$sum[k1]-sum[k2]\leq 0$！！！
所以搞斜率的时候，分母可能为0……所以就不能写成斜率的形式，而是搞成上一行那种……但是由于有个负数，所以还要仔细考虑不等号的方向！QAQ
1 /************************************************************** 2 Problem: 3675 3 User: Tunix 4 Language: C++ 5 Result: Accepted 6 Time:18176 ms 7 Memory:5180 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 //BZOJ 3675 11 #include<vector> 12 #include<cstdio> 13 #include<cstring> 14 #include<cstdlib> 15 #include<iostream> 16 #include<algorithm> 17 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i) 18 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i) 19 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i) 20 #define pb push_back 21 using namespace std; 22 inline int getint(){ 23 int v=0,sign=1; char ch=getchar(); 24 while(ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();} 25 while(ch>='0'&&ch<='9'){ v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();} 26 return v*sign; 27 } 28 const int N=1e5+10,INF=~0u>>2; 29 typedef long long LL; 30 /******************tamplate*********************/ 31 LL f[2][N],a[N],sum[N]; 32 int from[N],n,m,q[N]; 33 double slope(int i,int j,int k){ 34 i=i&1; 35 return double(f[i][k]-f[i][j]+sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k]); 36 } 37 int main(){ 38 #ifndef ONLINE_JUDGE 39 freopen("3675.in","r",stdin); 40 freopen("3675.out","w",stdout); 41 #endif 42 n=getint(); m=getint(); 43 F(i,1,n) a[i]=getint(),sum[i]=sum[i-1]+a[i]; 44 F(i,1,m){ 45 int now=i&1; 46 int l=0,r=-1; q[0]=0; 47 F(j,1,n){ 48 while(l<r && slope(i-1,q[l],q[l+1])>=sum[j]*(sum[q[l]]-sum[q[l+1]])) l++; 49 int t=q[l]; 50 f[now][j]=f[now^1][t]+sum[t]*(sum[j]-sum[t]); 51 while(l<r && slope(i-1,q[r-1],q[r])*(sum[q[r]]-sum[j])>=slope(i-1,q[r],j)*(sum[q[r-1]]-sum[q[r]])) r--; 52 q[++r]=j; 53 } 54 } 55 printf("%lld\n",f[m&1][n]); 56 return 0; 57 }