假目录
·网络流简介
·最大流
EK算法
·最小割
·Dinic
当前弧优化
最大流标程
·费用流
正确性证明
dijkstra费用流
标程
·上下界最大流
网络流简介：
有一个有向图，每条边为一条管道，有固定的容量，
从一个源点出发，它可以提供无限的水流，
流到一个汇点，它可以接受无限的水流，
每条边可以有一些水流通过，水流的大小不能超过容量，
我们把一个合法的解叫做一个流，一条边的水流大小叫做流量。
定义一条边的残量，是指它还能流多少流量（即容量减去当前流量）
性质：
1.容量限制：每条边的流量不超过其容量。
2.流量平衡：除源点和汇点外，对于每个点，流入它的流量和等于从它流出的流量和。
最大流：就是最大的流
最大化整个流的流量 ⇒ 最大化从源点流出的流量。
求解最大流：
一个贪心的思路：
每次从残量网络中任意找一条到达汇点路径，直到没有可以到达汇点的路径
然而它是错的
显然如果走了红色的路径，就不能再走其他的路径了
然而最优解是走上下两条路径。。
那么我们考虑“反悔操作”
我们想让水流“回去”，从而找到更优的解
一个可行的方法是建反向边
每次进行一次增流后，将正向边残联-流量，反向边容量+流量
显然，在反向边上增流，就相当于正向边上的流量减少，而且
总的残量是在不断减小的
上面的例子在找到1->2->3->4的路径后，图变为了这样：
那么我们就又有了1->3->2->4一条路径，对它进行增广
于是就有了2的流量
这就是FF方法
1.在残量网络上找到一条从源点到汇点的道路（称为“增广路”）
2.取增广路上残量最小值v
3.将答案加上v
4.将增广路上所有边的残量减去v ，它们的反向边的残量加上 v。
由于残量网络不断在减小，它是一定会结束的
正确性之后会有证明
于是我们就可以为所欲为了
然而有时它会被卡
若走了1->2->3->4,
于是变成了这样
（明显抠图痕迹）
于是又有了一条1->3->2->4的路径
然后。。就被卡到了1100000000次
如何避免这种情况？
我们看一下EK算法：
——每次寻找最短增广路增广
每次增广的道路长度显然是不下降的，
所以不会被上面的极端情况卡掉
寻找最短路BFS即可
其复杂度是 O(m^2 * n)的
最小割
选出一些边的集合，
使得删除它们之后从源点无法到达汇点，
那么这个集合就叫做一个割。
这些边的容量之和称作这个割的容量。
最小割就是一个容量最小的割边集合
显然 ，任取一个割，其割的容量大于最大流的流量
最小割的容量等于最大流的流量，且FF方法能够正确的求出它
考虑 FF 算法结束时，残量网络上没有了增广路。
那么我们假设这时候，从源点经过残量网络能到达的点组成的集合为 X ， 不能到达的点为 Y 。
显然汇点在 Y 里，并且残量网络上没有从 X 到 Y 的边。
可以发现以下事实成立：
1.Y 到 X 的边流量为 0 。如果流量不为 0 那么应该存在一条从 X 到 Y 的反向边，于是矛盾。
2.X 到 Y 的边流量等于其容量。只有这样它才不会在残量网络中出现。
根据第1个条件，我们可以得知：没有流量从 X 到 Y 之后又回到了 X 。
所以当前流量应该等于从 X 到 Y 的边的流量之和；
根据第2个条件，它又等于从 X 到 Y 的边容量之和。
所以FF方法也证明了是正确的。。
既然已经证明van了，我们进入下一环节
Dinic
EK算法每增广一条道路都要进行一次bfs，显然是比较慢的
考虑EK算法的优化：若增广后源点到汇点的最短路长度不变，不需要再bfs，直到最短路的长度变大再bfs
一次bfs找多个增广路径
增广时用dfs，记录下当前路径能允许的最大的流量，到达汇点时就统计
当前弧优化：
若在一次dfs中一些边已经访问过，在本次增广中就不会再产生新的贡献
于是我们直接跳过访问过的边
对于每个点维护一个“当前弧”cur[x]，
表示从它开始的第一个可能可以增广的边是谁
for循环访问后将cur[x]置为最后的边i
每次for循环从cur[x]开始，而不是head[x]
bfs时将cur[x]置为head[x]
模板最大流Dinic+当前弧优化完整代码：
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 5 #define N 10010 6 #define M 200010 7 #define INF 0x3f3f3f3f 8 #define min(a,b) (a<b?a:b) 9 10 const int ch_top=4e7+3; 11 char ch[ch_top],*now_r=ch-1; 12 13 int n,m,s,t,ans; 14 15 int Head[N],to[M],w[M],next[M],num=1; 16 17 int deep[N],cur[N],que[N],head,tail; 18 19 inline void add(int x,int y,int v){ 20 to[++num]=y; 21 w[num]=v; 22 next[num]=Head[x]; 23 Head[x]=num; 24 to[++num]=x; 25 w[num]=0; 26 next[num]=Head[y]; 27 Head[y]=num; 28 } 29 30 inline int read(){ 31 while(*++now_r<'0'); 32 register int x=*now_r-'0'; 33 while(*++now_r>='0')x=x*10+*now_r-'0'; 34 return x; 35 } 36 37 bool bfs(){ 38 memset(deep,-1,sizeof(deep)); 39 head=tail=0; 40 deep[s]=0; 41 que[++tail]=s; 42 while(head<tail){ 43 int u=que[++head]; cur[u]=Head[u]; 44 for(int i=Head[u];i;i=next[i]){ 45 int v=to[i]; 46 if(deep[v]!=-1||!w[i]) continue; 47 deep[v]=deep[u]+1; 48 que[++tail]=v; 49 if(v==t) return 1; 50 } 51 } 52 return 0; 53 } 54 55 int dfs(int now,int cap){ 56 if(now==t||!cap) return cap; 57 int flow=0,f; 58 for(int i=cur[now];i;cur[now]=i=next[i]){ 59 int v=to[i]; 60 if(!w[i]||deep[v]!=deep[now]+1) continue; 61 if(!(f=dfs(v,min(cap,w[i])))) continue; 62 w[i]-=f; 63 cap-=f; 64 w[i^1]+=f; 65 flow+=f; 66 if(!cap) break; 67 } 68 return flow; 69 } 70 71 void Dinic(){ 72 while(bfs()) 73 ans+=dfs(s,INF); 74 } 75 76 int main() 77 { 78 fread(ch,1,ch_top,stdin); 79 n=read(); m=read(); s=read(); t=read(); 80 int x,y,v; 81 for(int i=1;i<=m;i++){ 82 x=read(); y=read(); v=read(); 83 add(x,y,v); 84 } 85 Dinic(); 86 printf("%d\n",ans); 87 return 0; 88 }