HDU-4734-F(x)

题目给了个\(f(x)\)的定义：\(F(x) = A_n * 2^{n-1} + A_{n-1} * 2^{n-2} + ... + A_2 * 2^1 + A_1 * 2^0\)，\(A_i\)是十进制数位，然后给出\(a,b\)求区间\([0,b]\)内满足\(f(i)<=f(a)\)的\(i\)的个数。

\(dp[pos][sum]\)，\(sum\)不是存当前枚举的数的前缀和(加权的)，而是枚举到当前\(pos\)位，后面还需要凑\(sum\)的权值和的个数。

也就是说初始的是时候\(sum\)是\(f(a)\),枚举一位就减去这一位在计算\(f(i)\)的权值，那么最后枚举完所有位 \(sum>=0\)时就是满足的，后面的位数凑足\(sum\)位就可以了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 12;       //数位的长度上限
const int M = 1e4 + 5;  //剩余的数大小(集合按这个划分)
int dp[N][M];           //结果DP数组
int a[N];               //数位拆分出来的数组
int fx;                 //根据f(x)公式计算出来的x的
//记录减的状态，表示还要凑多少才能达到当前值。然后进行枚举即可。注意状态数不能重复。

//利用递归计算出F(x)
int f(int x) {
    if (x == 0) return 0;
    return f(x / 10) * 2 + x % 10;
}

/**
 * @param pos   数位位置
 * @param sum   累加和
 * @param limit 是不是贴上界
 * @return
 */
int dfs(int pos, int sum, bool limit) {
    if (pos == -1) return sum <= fx;//累加和小于fx,贡献值++
    if (sum > fx) return 0;         //累加和大于fx,没有贡献值
    if (!limit && ~dp[pos][fx - sum]) return dp[pos][fx - sum];//不贴上界，可以使用记忆化结果
    int res = 0;
    int up = limit ? a[pos] : 9;    //本次枚举到上限
    for (int i = 0; i <= up; i++)   //本位置的结果，依赖于它的下一位的结果
        res += dfs(pos - 1, sum + i * (1 << pos), limit && i == a[pos]);
    return limit ? res : dp[pos][fx - sum] = res;
}

int calc(int x) {
    int pos = 0;
    while (x) {
        a[pos++] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(pos - 1, 0, true);
}

int main() {
    int T;
    int cnt = 1;
    cin >> T;
    memset(dp, -1, sizeof dp);
    while (T--) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        //利用公式计算出f(x)值
        fx = f(x);
        printf("Case #%d: %d\n", cnt++, calc(y));
    }
    return 0;
}