七、(本题10分) 设 $A_1,A_2,\cdots,A_m$ 为 $n$ 阶实对称阵, 其中 $A_1$ 为正定阵, 并且对任意的 $2\leq i<j\leq m$, $A_iA_1^{-1}A_j$ 都是对称阵. 证明: 存在非异实方阵 $C$, 使得$$C'A_1C=I_n,\,\,\,\,C'A_iC=\mathrm{diag}\{\lambda_{i1},\lambda_{i2},\cdots,\lambda_{in}\},\,\,i=2,\cdots,m,$$ 其中 $\{\lambda_{i1},\lambda_{i2},\cdots,\lambda_{in}\}$ 是 $A_1^{-1}A_i$ 的全体特征值.
证明 由 $A_1$ 的正定性可知, 存在非异实方阵 $Q$, 使得 $Q'A_1Q=I_n$, 特别地, 我们有 $A_1^{-1}=QQ'$. 由 $A_iA_1^{-1}A_j$ 是对称阵可知 $$A_iQQ'A_j=(A_iQQ'A_j)'=A_j'QQ'A_i'=A_jQQ'A_i,$$ 从而有 $$(Q'A_iQ)(Q'A_jQ)=(Q'A_jQ)(Q'A_iQ)\,\,(\forall\,2\leq i<j\leq m),$$ 即 $\{Q'A_iQ,\,2\leq i\leq m\}$ 是一组两两乘法可交换的实对称阵. 由复旦高等代数教材的习题 9.5.10 或高代白皮书的例 9.107 可知, 上述 $m-1$ 个实对称阵 $Q'A_iQ$ 可同时正交对角化, 即存在正交阵 $P$, 使得 $$P'Q'A_iQP=\mathrm{diag}\{\lambda_{i1},\lambda_{i2},\cdots,\lambda_{in}\},\,\,i=2,\cdots,m.$$ 此时 $P'Q'A_1QP=P'I_nP=I_n$, 故只要令 $C=QP$ 即得所要的同时合同对角化. 注意到 $\{\lambda_{ij},\,1\leq j\leq n\}$ 是 $|\lambda A_1-A_i|=0$ 的根, 从而是 $A_1^{-1}A_i$ 的全体特征值. $\Box$
注 1 本题是一个正定实对称阵和一个实对称阵可同时合同对角化的推广 (请参考高代白皮书的例 9.66). 容易验证: 题目中的条件“对任意的 $2\leq i<j\leq m$, $A_iA_1^{-1}A_j$ 都是对称阵”是可同时合同对角化成立的充分必要条件.
注 2 本题共有 21 位同学完全做对 (得分在 9$-$10 之间), 分别是 (排名不分先后): 张菲诺、刘宇其、高诚、陈域、郭宇城、许智锟、文豪、史书珣、戴逸翔、张君格、余张伟、季俊晔、魏一鸣、王成文健、张昰昊、朱柏青、汪子怡、王炯逍、王语姗、张嘉璇、程梓兼.