AcWing 125. 耍杂技的牛

一、算法思路

与国王游戏的贪心策略相似，我们先分析每头牛的危险值 = 他前面牛的$w$(重量值)和 - 自身的$s$(强壮值)，要使每头牛的危险值最小，这显然是与$w$ 和 $s$同时相关，所以先 $yy$ 出一种作法按每头牛的$w + s$进行升序排序(题见多了可能就会有这种题感)。

数学分析:

牛	交换前	交换后
$i$	$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_i$$	$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j+w_{i+1}-s_i$$
$i+1$	$$\sum_{j=1}^{i}w_j-s_{i+1}$$	$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j-s_{i+1}$$

其他牛的危险值显然不变，所以分析交换前后这两头牛中最大的危险值即可。
将上述式子进行化简，每个式子减去$$\sum_{j=1}^{i-1}w_j$$得到如下式子

牛	交换前	交换后
$i$	$-s_i$	$w_{i+1}-s_i$
$i+1$	$w_{i}-s_{i+1}$	$-s_{i+1}$

$\because$ $s,w$都是正数
$\therefore$ $w_i-s_{i+1}>-s_{i+1},w_{i+1}-s_i>-s_i$

所以，交换前后的最大值，就是在比较 $w_i-s_{i+1},w_{i+1}-s_i$：

当$w_i-s_{i+1}>=w_{i+1}-s_i$，即$w_i+s_i>=w_{i+1}+s_{i+1}$时，交换后更优。

当$w_i-s_{i+1}<w_{i+1}-s_i$，即$w_i+s_i<w_{i+1}+s_{i+1}$时，交换前更优。

作法: 按每头牛的 $w + s$ 进行排序, 当存在逆序时就进行交换(即升序排序)，然后根据题意算出每头牛的危险值记录其中的最大值即可。

二、完整代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 50010;
PII cow[N];
int n;

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;           //奶牛的数量
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int s, w;                         //牛的重量和强壮程度
        cin >> w >> s;
        cow[i] = {w + s, w};            //之所以这样记录数据，是因为我们找到贪心的公式，按 wi+si排序
    }
    //排序
    sort(cow, cow + n);

    //最大风险值
    int res = -INF, sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int s = cow[i].first - cow[i].second, w = cow[i].second;
        res = max(res, sum - s); //res为最大风险值
        sum += w;                //sum=w1+w2+w3+...+wi
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

牛	交换前	交换后
\(i\)	\(-s_i\)	\(w_{i+1}-s_i\)
\(i+1\)	\(w_{i}-s_{i+1}\)	\(-s_{i+1}\)