AcWing 9. 分组背包问题

一、一维数组版本

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;

int n;       //n类物品
int m;       //背包上限为m
int v[N][N]; //体积
int w[N][N]; //价值
int s[N];    //每类物品的个数
int f[N];    //dp数组，最大值

//分组背包
int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {//枚举每类物品,比如：水果，蔬菜，肉类...
        cin >> s[i];              //此类物品中物品的个数,比如2，可能是苹果、香蕉
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++)//读入苹果、香蕉的体积和价值
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)        //遍历每类物品
        for (int j = m; j >= 0; j--)    //遍历每个可能的体积
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++)//遍历第k个物品
                if (v[i][k] <= j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

二、思路

状态表示：f[i][j] 从前 i 组物品中选择且总体积不大于 j 的最大价值
状态计算：
- 针对第 i 组物品，将整个状态划分成 s[i]+1 类：
- 不选第 i 组物品：f[i][j] = f[i-1][j]
- 选第 i 组物品的第一个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[1]]+w[1]
- 选第 i 组物品的第二个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[2]]+w[2]
- 选第 i 组物品的第 s[i] 个物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[s[i]]+w[s[i]] 最终就是该物品数量的最大限制。十分类似于完全背包问题
- 故状态转移方程为：f[i][j]=max(f[i][j], f[i-1][j-v[k]]+w[k])), k=0, 1, 2,...s[i]
状态初始化：
f[0][0~m] = 0 表示在选择 0 件物品时对于任何体积来讲，其最大价值均为 0
同理，分组背包问题也是可以从二维优化到一维的。其实只需要谨记一点：

当我们当前状态需要用上层状态进行转移时，就从大到小枚举体积
当我们当前状态需要用本层状态进行转移时，就从小到大枚举体积

三、二维数组版本

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;

int n;          //n组物品
int m;          //背包容量
int f[N][N];    //二维dp结果记录数组
int v[N][N];    //体积,一维:哪一组，二维:第几个，值：体积是多少
int w[N][N];    //价值,一维:哪一组，二维:第几个，值：价值是多少
int s[N];       //个数，记录每一组的物品个数

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;
    //读入每一组物品
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        //个数
        cin >> s[i];
        //每一个的体积和价值
        for (int j = 1; j <= s[i]; j++) cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    //遍历每一组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        //空间从0到上限
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];          //第i组啥也不要
            for (int k = 1; k <= s[i]; k++) //从1个~s[i]个依次讨论
                if (j >= v[i][k])           //需要能装的下
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
        }
    //输出
    printf("%d",f[n][m]);
    return 0;
}