AcWing 890. 能被整除的数

题目传送门

一、理论知识

韦恩图（又称文氏图）

（1）两个圆相交求面积

$\large S=S_1+S_2-S_1\cap S_2$

（2）三个圆相交求面积

$\large S=S_1+S_2+S_3- S_1\cap S_2 -S_2\cap S_3 - S_1\cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_3$

（3）四个圆相交求面积

$\large S=S_1+S_2 + S_3 + S_4 -S_1\cap S_2 -S_1\cap S_3 -S_1\cap S_4 - S_2\cap S_3 -S_2\cap S_4 -S_3\cap S_4 + S_1\cap S_2 \cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_4+ S_2\cap S_3 \cap S_4 ++ S_1\cap S_3 \cap S_4 - S_1 \cap S_2 \cap S_3 \cap S_4$

上面，我们是用面积来考虑的问题，所以等式左边写的是$S$，也可以用集合来考虑，以$3$个圆为例，那就是
$|S_1 \cup S_2 \cup S_3| =|S_1|+|S_2|+|S_3|- |S_1\cap S_2| -|S_2\cap S_3| - |S_1\cap S_3| + |S_1\cap S_2 \cap S_3|$

其中$||$代表集合中的元素个数。

（4）规律总结

上面的求解过程，其实是在求 $C_n^1 - C_n^2+ ... + {(-1)}^{n-1}C_n^n$，
也就理解为从$n$个选择1个，减去从$n$中选择$2$个，加上从$n$中选择$3$个，减去从$n$中减去$4$个...,也可以记为奇数个元素的集合是加，偶数个的（指相交）的集合是减。

（5）经典例题

容斥原理有个经典题目：一个班每个人都有自己喜欢的科目，有$20$人喜欢数学，$10$人喜欢语文，$11$人喜欢英语，其中$3$人同时喜欢数学语文，$3$人同时喜欢语文英语，$4$人同时喜欢数学英语，$2$人都喜欢，问全班有多少人？

根据容斥原理，就是$\large S=S_1+S_2+S_3- S_1\cap S_2 -S_2\cap S_3 - S_1\cap S_3 + S_1\cap S_2 \cap S_3$

班级人数=$20+10+11-3-3-4+2$

二、算法思路

数学表达式
比如三个质数是$2，3，5$，那么：$S_2$就代表$2$的倍数集合，$S_3$就代表$3$的倍数集合，$S_5$就代表$5$的倍数集合，至少能被其中一个质数整除的就是：
$|S_2 \cup S_3 \cup S_5| = |S_2| + |S_3| +|S_5| -|S_2 \cap S_3| -|S_3 \cap S_5| -|S_2 \cap S_5|+|S_2 \cap S_3 \cap S_5|$
如何计算$|S_p|$这样的表达式数值
$|S_p|$就是计算小于等于$n$中能整除掉$p$的数字个数。它就是等于$\lfloor \frac{n}{p} \rfloor$,而$C++$在整数运算除法时，默认就是下取整，这点就不用再特意处理了。
如何计算$|S_2 \cap S_3|$这样的的表达式值
题目给定的$p_i$都是质数，所以能被$2$整除，也能被$3$整除的数，肯定是能被$6$整除的数，所以就是 $|S_6|=|S_2 \cap S_3|$,这样，问题就转化成了问题$|S_p|$，也就会求解了！
怎么把这些子项目都罗列出来
其实罗列的是$p[i]$的所有组合方式！举个栗子： $\{2\},\{3\},\{5\},\{2,3\},\{3,5\},\{2,5\},\{2,3,5\}$共$7$种,也就是$2^3-1=7$种。
这个是常用的小技巧了，二进制模拟

三、C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 20;
int p[N];   //质数数组
int n;      //整数n,表示1~n之间的整数
int m;      //m个不同的质数
int res;    //结果

int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;

    //读入m个质数
    for (int i = 0; i < m; i++) cin >> p[i];
    //二进制来模拟m个数字的 2^m种选法，注意，不能全不选，所以i=1开始
    //举个栗子，比如  2，3，5共3个数字，就是 001~111共7种选法
    for (int i = 1; i < 1 << m; i++) {
        int t = 1;                      //t代表当前选法中,选中质数的乘积,初始值是1
        int cnt = 0;                    //cnt当前选法里面包含几个1,奇数个1是+，偶数个1是-,所以需要记录
        bool flag = true;               //本轮结果是否有效
        for (int j = 0; j < m; j++)     //遍历二进制的每一位
            if (i >> j & 1) {           //判断j位二进制是不是1
                //如果质数乘积大于n了，就不用再继续算了
                if ((LL) t * p[j] > n) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                t *= p[j]; //质数相乘
                cnt++;
            }

        //容斥原理公式
        if (flag) {
            if (cnt % 2) res += n / t;  //奇数项加,C++的整数除法默认是下取整,不用再关心取整问题
            else res -= n / t;          //偶数项减
        }
    }
    //输出答案
    printf("%d", res);
    return 0;
}