一、什么是逆元？
\((a + b)\% p = (a\%p + b\%p) \%p\) （对）
\((a - b) \% p = (a\%p - b\%p) \%p\) （对）
\((a * b) \% p = (a\%p * b\%p) \%p\) （对）
\((a / b) \% p = (a\%p / b\%p) \%p\) （错）
为什么除法错的?
证明是对的难，证明错的只要举一个反例:
\((100/50)\%20 = 2 ≠ (100\%20) / (50\%20) \%20 = 0\)
对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，会损失精度，导致答案变小。
因为除法在取模运算时没有性质 \(( a/b )\% c = (a\%c /b\%c) \%c\),这个是不成立的，所以没法计算了，这时数学家提出了个逆元的概念：
比如 \(3 /5 \ mod \ 7\) ,因为\(5\)在乘法模\(7\)的世界里的逆元是\(3\)，所以转化为 \(3 * 3 \ mod\ 7\),就可转化为乘法的性质了，就方便计算了，就是答案\(2\)。
逆元可以代替除法，除以这个数就等于乘以这个数的逆元。
二、怎么理解逆元的含义？
想像你在一个加法的世界里，以\(0\)为世界的中心。有一天，你从世界的中心位置，进行了\(+3\)，突然，你想回到世界的中心，而你只能使用加法，所以你需要找一个数，让你加上这个数后，可以回到\(0\)这个世界的中心，这个数就是你在加法世界里\(3\)的逆元，也就是\(-3\)。
想像你在一个乘法取模\(7\)的世界里，以\(1\)为世界的中心，有一天，你从世界的中心位置，进行了\(*3 \ mod\ 7\)的操作，突然，你想回到世界的中心，而你只能使用乘法取模的，所以你需要找到一个数，让你乘上它再模\(7\)后，回到世界的中心，那么这个数就称为你在乘法模\(7\)世界的逆元。
举个栗子， \(3 * 5\ mod\ 7 =1\) 那么\(3\)和\(5\)就在乘法\(mod7\)世界里互为逆元，就像是加法世界里的\(3\)和\(-3\)一样。
在这个乘法模\(7\)的世界里，逆元不是唯一的，比如 \(3 * 5\ mod\ 7 =1\) 而 \(3*9\ mod\ 7 =1\)。我们所说的求逆元一般是指逆元当中最小的那个。
三、费马小定理
当\(p\)为质数时 $\large a^{p-1} \equiv 1 (mod\ p) $
⭐️小试牛刀:今天是周一，再过 \(3^{2008}\) 次方天，是周几呢？
解：因为一周\(7\)天，其实是在求\(3^{2008}\%7\)。
此时\(p=7\),是质数，可以用费马小定理计算同余结果:
计算\(2008\)与\(p-1\)的关系，\(2008=6*334+4\)
所以$3^{2008} \equiv 3^{4} (mod \quad 7) $ 就是 \(81\%7=4\)
今天是周一，再过四天就是周五了。
四、怎样求逆元？
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当\(k\)为质数时，可以用费马小定理+快速幂求逆元：
\(\because\)\(a^{p-1}≡1 (mod\quad p)\)\(\therefore\)\(a \times a^{p-2}≡1 (mod\quad p)\)
\(\therefore\) \(a^{p-2}\)就是\(a\)的逆元。
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当\(n\)不是质数时，可以用扩展欧几里得算法求逆元：
\(a\)有逆元的充要条件是\(a\)与\(p\)互质，所以\(gcd(a, p) = 1\)
假设\(a\)的逆元为\(x\)，那么有\(a * x ≡ 1 (mod\ p)\)
等价：\(ax + py = 1\)
\(exgcd(a, p, x, y)\)
二、完整代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
// 快速幂 (a^k)%p
LL qmi(int a, int k, int p) {
LL res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = res * a % p;
a = a * (LL) a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
//读入优化
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
cin >> n;
while (n--) {
int a, p;
cin >> a >> p;
if (a % p == 0) puts("impossible");//不互质
else printf("%lld\n", qmi(a, p - 2, p));
}
return 0;
}