AcWing 852. spfa判断负环

一、解题思路

\(spfa\)可以用来判断是不是有向图中存在负环。
基本原理：利用抽屉原理

\(dist[x]\)的概念是指当前从\(1\)号点到\(x\)号点的最短路径的长度。\(dist[x]=dist[t]+w[i]\)

\(cnt[x]\)的概念是指当前从\(1\)号点到\(x\)号点的最短路径的边数量。\(cnt[x]=cnt[t]+1\)

如果发现\(cnt[x]>=n\),就意味着从\(1 \sim x\)经历了\(n\)条边，那么必须经过了\(n+1\)个点，但问题是点一共只有\(n\)个，所以必然有两个点是相同的，就是有一个环。
因为是在不断求最短路径的过程中发现了环，路径长度在不断变小的情况下发现了环，那么，只能是负环。
为什么初始化时初始值为\(0\),而且把所有结点都加入队列？
在原图的基础上新建一个虚拟源点，从该点向其他所有点连一条权值为\(0\)的有向边。那么原图有负环等价于新图有负环。此时在新图上做\(spfa\)，将虚拟源点加入队列中。然后进行\(spfa\)的第一次迭代，这时会将所有点的距离更新并将所有点插入队列中。执行到这一步，就等价于下面代码中的做法了。如果新图有负环，等价于原图有负环。

二、C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;                               // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];                            // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N];                             // 存储每个点是否在队列中,防止存储重复的点，存储重复的点是没有意义的
int cnt[N];                             // 每个节点到1号点的边数

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int spfa() {
    //注意：这里不需要初始化距离，因为只关心负环是否存在，不关心是不是距离多少
    queue<int> q;
    
    //把所有点全部放入到队列中，因为我们不是要找从1点出发的负环，而是要找整个图中的负环
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        q.push(i);
        //结点i在队列中
        st[i] = true;
    }
    while (q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;
                // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
                if (!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}


int main() {
    //优化输入
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;
    //初始化链表头
    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    //调用spfa判断是否有负环
    if (spfa()) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}