一、堆的数据结构
堆是一个完全二叉树:除了最后一层结点以外，上面的每一层都是满的。最后一层的结点是从左到右排布的。
小根堆：每一个点都是小于左右儿子的,所以根节点就是树中最小值.或者叫小顶堆。(递归定义)
存储方式：全新的存储方式，用一维数组来存。因为是完全二叉树，所有数据的下标是有规则可以找到的。
位置\(x\), 左儿子\(2x\) , 右儿子\(2x+1\)
下标是从\(1\)开始的，从\(0\)开始不方便，因为\(2x\)还是自己没法玩。
二、堆操作的基本方法
- down(x) 往下调整
比如现在堆已经维护好了，我们要把头结点的值
1
3 4
3 5 4 5
假设把头结点值换一下，换成6，
6
3 4
3 5 4 5
现在就不是一个小顶堆了，因为6不比3，4小啊，所以需要对6进行调整，向下移动。
在3，4，6中找到一个最小值，然后交换3，6 （down操作时，如果当前结点大于左右儿子，与左右儿子中小的进行交换）
3
6 4
3 5 4 5
然后继续在6,3,5中找最小值，继续交换3,6
3
3 4
6 5 4 5
OK,移动完毕！
- up(x) 往上调整
比如现在堆已经维护好了，我们把5修改为2
3
3 4
3 5 4 2
就需要找出4,2 ，交换4,2 （与父结点对比，如果比父结点小，则交换自己与父结点）
3
3 2
3 5 4 4
继续查询3，2，发现在2<3,继续交换
2
3 3
3 5 4 4
不再交换，OK，移动完毕。
三、手写一个堆（小根堆）
1、插入一个数
heap[++sz]=x; //在一维数组最后一个位置填充x
up(sz); //将最后一个元素不断上移
2、求最小值
heap[1]
3、删除最小值
heap[1]=heap[sz--]; //就是把尾部最后一个元素替换掉头元素，然后sz--
down(1); //然后再down(1)就行了
4、删除任意一个元素
heap[k]=heap[sz--];
down(k);
up(k); //其实只能执行一个，因为大了向下走。小了向上走嘛
5、修改任意一个元素
heap[k]=x;
down(k);
up(k);
两个基本操作,这两个操作结合起来就能完成上面五个操作。
\(down(x)\) ---> 向下调整
\(up(x)\) ---> 向上调整
三、如何高效创建堆
四、完整代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int heap[N];
int sz;
/**
* 功能:向下移动
* @param u
*/
void down(int u) {
int t = u;
if (u * 2 <= sz && heap[u * 2] < heap[t])t = u * 2;
if (u * 2 + 1 <= sz && heap[u * 2 + 1] < heap[t]) t = u * 2 + 1;
if (u != t) {
swap(heap[u], heap[t]);
down(t);
}
}
/**
* 功能：向上移动
* @param u
*/
void up(int u) {
//如果父节点存在，并且父节点值大于u节点值
while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u]) {
swap(heap[u / 2], heap[u]);
u /= 2;
}
}
int main() {
//读入优化
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> heap[i];
sz = n;
//如何初始化堆
//这是一个小技巧，建堆的技巧O(N),其实也可以是int i=n;i>0;i--,但最后一层再down没有意义，省略
for (int i = n / 2; i; i--)down(i);
//遍历提取出来
while (m--) {
printf("%d ", heap[1]);
//删除堆顶
heap[1] = heap[sz--];
//再down一次
down(1);
}
return 0;
}