AcWing 1019. 庆功会

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一、题目解析

物品个数为 \(n\)，总体积为\(m\)，初步识别是一个 背包问题

观察到每个物品有 数量限制，断定该题是 多重背包问题

本题是一道 多重背包 的裸题

不多废话，我们直接上 闫氏DP分析法

闫氏DP分析法

初始状态：f[0][0]
目标状态：f[n][m]

二、朴素版本解法

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 510, M = 6010;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][M];

//二维朴素作法
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++)
            for (int k = 0; k <= s[i] && j >= k * v[i]; k++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

三、滚动数组模方法优化空间

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 510, M = 6010;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[2][M];

//二维朴素作法[滚动数组 模]
/*思想:
 1、降低空间复杂度
 2、每行只依赖上一行，所以可以以2行换多行
 3、%2：因为i从1开始，所以就是奇数%2=1,偶数%2=0，交替进行，只保留了上一行和本行，节约空间
 */
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++)
            for (int k = 0; k <= s[i] && j >= k * v[i]; k++)
                f[i % 2][j] = max(f[i % 2][j], f[(i - 1) % 2][j - k * v[i]] + k * w[i]);

    cout << f[n % 2][m] << endl;
    return 0;
}

四、与1方法优化空间

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 510, M = 6010;

int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[2][M];


int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++)
            for (int k = 0; k <= s[i] && j >= k * v[i]; k++)
                f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[(i - 1) & 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);

    cout << f[n & 1][m] << endl;
    return 0;
}

五、倒序优化空间

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 510;
const int M = 6010;
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[M];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            for (int k = 0; k <= s[i] && j >= k * v[i]; k++)
                f[j] = max(f[j], f[j - k * v[i]] + k * w[i]);

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

六、二进制优化速度

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 12010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int idx;
//多重背包的二进制优化
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int vi, wi, si;
        cin >> vi >> wi >> si;//二进制优化,能打包则打包之，1,2,4,8,16,...
        int b = 1;
        while (b <= si) {
            v[++idx] = vi * b;
            w[idx] = wi * b;
            si -= b;
            b *= 2;
        }
        //剩下的
        if (si > 0) {
            v[++idx] = vi * si;
            w[idx] = wi * si;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= idx; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    printf("%d", f[m]);
    return 0;
}

七、单调队列优化版本

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 20010;
//滚动数组写法
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[2][M];
int q[M];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int r = 0; r < v[i]; r++) {
            int hh = 0, tt = -1;//队列中放的是前面s个可能转移过来的剩余空间
            for (int j = r; j <= m; j += v[i]) {
                //j和q[hh]之间可以装的下的物品个数，一旦大于固定数量，队首出队
                while (hh <= tt && j - q[hh] > s[i] * v[i]) hh++;
                while (hh <= tt && f[(i - 1) & 1][q[tt]] + (j - q[tt]) / v[i] * w[i] <= f[(i - 1) & 1][j]) tt--;
                q[++tt] = j;
                f[i & 1][j] = f[(i - 1) & 1][q[hh]] + (j - q[hh]) / v[i] * w[i];
            }
        }
    cout << f[n & 1][m] << endl;
    return 0;
}