单调性优化DP

Tags：动态规划

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一、概述

裸的DP过不了，怎么办？
通常会想到单调性优化

• 单调队列优化
• 斜率优化
• 决策单调性

二、题目

• [洛谷 P2120 [ZJOI2007]仓库建设](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2120)
• [洛谷 P2900 [USACO08MAR]土地征用](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2900)
• [洛谷 P3195 [HNOI2008]玩具装箱](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3195)
• [洛谷 P3628 [APIO2010]特别行动队](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3628)
• [洛谷 P4360 [CEOI2004]锯木厂选址](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4360)(留作复习)
• [洛谷 P4072 [SDOI2016]征途](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4072)
• [洛谷 P3648 [APIO2014]序列分割](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3648)
• [洛谷 P4027 [NOI2007]货币兑换](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4027)
• [洛谷 P2627 修剪草坪](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2627)
• [洛谷 P2569 [SCOI2010]股票交易](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2569)
• [洛谷 P2254 [NOI2005]瑰丽华尔兹](https://www.luogu.org/problemnew/show/P2254)
• [BZOJ 4709 柠檬](https://vjudge.net/problem/HYSBZ-4709)

三、各种方法

单调队列优化

你会发现\(i\)这个状态是由\([i-k1,i-k2]\)转移过来的，而且\(j\)对于\([j+k2,j+k1]\)的贡献是一样的，和后一个接受贡献的\(i\)无关，那么就可以使用单调队列优化了，每次就是队首的点来更新后面的状态
题目：修剪草坪、股票交易

斜率优化

当发现\(j\)转移到\(i\)的时候贡献和\(i\)有关系的时候，那么就要用到斜率优化了
比如说$$dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(A[i]-A[j])^{2)$$本来应该枚举$j$的，但是把式子化简$$dp[j]+A[j]}2=2A[i]A[j]+(dp[i]-A[i]^2)$$
再看看$$y=kx+b$$诶很像哦，那么我们要求的\(dp[i]\)就是截距\(+A[i]^2\)咯
那么一个状态\(j\)可以抽象成一个点\((x,y)=(A[j],dp[j]+A[j]^2)\)
此时斜率是\(2A[i]\)，那么最小的截距就可以由上凸壳的最下端点转移而来
所以用单调队列维护凸壳就可以实现\(O(1)\)转移了
例题见上题单序列分割及以上所有，建议初学者先做[HNOI2008]玩具装箱

决策单调性优化

暂不会，例题见柠檬

四、做题经验

斜率优化通常维护这种东西

然后红线就是斜率，黑线就是要维护的凸壳
考虑清楚斜率的单调性以及正负就好了
一般斜率优化的题很好写暴力，多拍一下