算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，若不是本身就是质数，就是可写为2个以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如:{\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}}
，{\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}}
。
算术基本定理的内容由两部分构成：
- 分解的存在性：
- 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。
算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。
算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数{\displaystyle p|ab}
，则不是 {\displaystyle p|a}
，就是{\displaystyle p|b}
。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。
必然性[编辑]
用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。
自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，{\displaystyle n}
大于1。其次，{\displaystyle n}不是质数，因为质数{\displaystyle p}
可以写成质数乘积：{\displaystyle p=p}
，这与假设不相符合。因此{\displaystyle n}只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设{\displaystyle n=a\times b}
，其中{\displaystyle a}
和{\displaystyle b}
都是介于1和{\displaystyle n}之间的自然数，因此，按照{\displaystyle n}的定义，{\displaystyle a}和{\displaystyle b}都可以写成质数的乘积。从而{\displaystyle n=a\times b} 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。
唯一性[编辑]
引理：若质数{\displaystyle p|ab}，则不是 {\displaystyle p|a}，就是{\displaystyle p|b}。
引理的证明：若{\displaystyle p|a} 则证明完毕。若{\displaystyle p\nmid a}
，那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在{\displaystyle (m,n)}
使得{\displaystyle ma+np=1}
。于是{\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp}
。 由于{\displaystyle p|ab}，上式右边两项都可以被p整除。所以{\displaystyle p|b}。
再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设{\displaystyle n}是最小的一个。
首先{\displaystyle n}不是质数。将{\displaystyle n}用两种方法写出：{\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}
。根据引理，质数{\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}
，所以{\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}}
中有一个能被{\displaystyle p_{1}}
整除，不妨设为{\displaystyle q_{1}}
。但{\displaystyle q_{1}}也是质数，因此{\displaystyle q_{1}=p_{1}}
。所以，比{\displaystyle n}小的正整数{\displaystyle n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}}
也可以写成{\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}
。这与{\displaystyle n} 的最小性矛盾！
因此唯一性得证。
在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )}
之中，只有少数几个能满足，最大的一个 {\displaystyle D}
是 {\displaystyle D=163}
。例如，{\displaystyle 6}
可以以两种方式在 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}
中表成整数乘积：{\displaystyle 2\times 3}
和 {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}
。同样的，在分圆整数中一般也不存在唯一分解性，而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。
欧几里得在普通整数 {\displaystyle \mathbb {Z} }
中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}
中得出并证明，只要不计四个可逆元素 {\displaystyle (\pm 1,\pm i)}
之作用，那么这个唯一分解定理在 {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。
高斯类数[编辑]
对于二次方程：{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}
，它的根可以表示为： {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}
因为负数不能开平方，{\displaystyle b^{2}-4ac}
的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)}
{\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163}
两个复数解为: {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}}
{\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}
哪个{\displaystyle d}
值可以得到唯一分解定理？ {\displaystyle d=1,2,3}
皆可得到定理，但当{\displaystyle d=5}
时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 {\displaystyle 6=2\times 3}
；{\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}
。在高斯时代，已知有9个{\displaystyle d}使得{\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}所产生的数有唯一因子分解（{\displaystyle a}，{\displaystyle b}如上面指出那样取值）。 {\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}
高斯认为{\displaystyle d}的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个{\displaystyle d}值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。