杜教筛使用心得

现在杜教筛好像是个人都会了 orz。

所以我写篇博客复习一下，这里不讲原理只讲优化技巧的和如何使用

先贴两个学习原理的博客：

http://www.cnblogs.com/abclzr/p/6242020.html
http://www.cnblogs.com/candy99/p/dj_s.html

然后我们来讲一下，怎么使用，下面均以要 求和的n为10⁹ 为讨论前提

一般取用来卷积的辅助函数g为恒等函数：g(n)=1 ,n=1,2,3,…………（有时取g(n)=mu(n) 啥的也有奇效，反正是玄学）

这时杜教筛的公式就能化简为：

 

 我们一般只用红框里的两个公式。

杜教筛不要求函数一定要有积性，而是要求两点

1. f(i)在10⁶以内的所有前缀和能在接近O(n)复杂度内全部处理出来。
2. 狄利克雷卷积的前缀和——h(n) ，在1e9 内的任意一项h(m)，能在O(sqrt(m)) 以内的复杂度内求出来。

使用步骤一：预处理10⁶ 以内的s[i]

这一步如果f(i)是积性函数，可以直接用线性筛法直接搞定，如果不是的话，就要可能要注意分析性质瞎搞了(比如搞一些预处理，使得f(i)可以O(1)求之类的骚操作)。

注意这里只是以10⁶为例，因为后面的计算过程常数比较大，追求速度的话，最好要能处理到2*10⁶。

使用步骤二：写快速计算h函数第k项的函数 h(int k)

这里求h，有以下几种方法

1. 用公式推出的通项看是否有优良的性质。可以快速搞出前n项和

2. 对打表找规律
3. 对打表找规律

    

 使用步骤三：写个记忆化搜索计算s(n)

 设我们预处理出s[i]的范围是i∈[1,UB】。

通用的写法

若之前算过n 我们则返回我们记下的值，因为n比较大不能用数组直接存，最好用哈希表。

若n<=UB,我们返回预处理好的s[i]

否则使用公式递归计算

要注意到(n/i) 只有2*sqrt(n) 不同的取值，直接用一下数论分块就行了（如果不知道啥是数论分块的话，你百度一下就行 了）

然后注意把值存到哈希表内。

代码如下

 1 long long S(long long n)
 2 {
 3     if(n<=UB)
 4     {
 5         return s[n];
 6     }
 7     long long ans=0;
 8     ans=table.find(n);///查询哈希表中是否有n
 9     if(ans==-1)
10     {
11         long long i,j;
12         ans=0;
13         for(i=2; i<=n; i++)
14         {
15             j=i;
16             i=n/(n/i);
17             ans+=(i-j+1)*S(n/j);
18         }
19         ans=(h(n)-ans);
20         table.insert(n,ans);/// 将n对应的值存入哈希表
21     }
22     return ans;
23 }

适合多组查询的哈希表写法