NOIP涉及的数论

扩展欧几里得

求二元一次不定式方程 的一组解。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
{
    int t;
    if(!b) {x=1;y=0;return a;}
    t=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return t;
}

 

线性筛质数

维护一个质数表。对于每个数 ， 从小到大枚举所有质数 ，将 打上标记。 如果 ， 停止枚举。

void getprime()
{       
    int i,j;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {              
        if(!b[i]) prime[++tot]=i;  
        for(j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            b[i*prime[j]]=true;  
            if(!i%prime[j]) break;
        }
    }
}

 

线性求逆元 

逆元的定义：称x是a在模b意义下的逆元，可理解为。

给定一个质数  ，求出  至 的逆元。

证明：

 

 

费马小定理

若  是质数， 则 

证明：

因为 ， 所以.

 

线性求欧拉函数

欧拉函数的定义：小于等于的正整数中与互质的数的个数。

设  为  最小的质数，。在线性筛中，被筛掉。

当时，。

当时，。

void getphi()  
{  
    int i,j;  
    phi[1]=1;  
    for(i=2;i<=n;i++)
    {  
       if(!b[i])  
       {  
           prime[++tot]=i; 
           phi[i]=i-1;
       }  
       for(j=1;j<=tot;j++)  
       {  
           if(i*prime[j]>n)  break;  
           b[i*prime[j]]=true; 
           if(i%prime[j]==0)
           {  
               phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
               break;  
            }  
            else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
       }  
     }  
}

 

欧拉定理

若  ， 则 。

证明：

记  , 记  为 到  中与  互质的数。

由 消去律 得  

 

Miller-Rabin算法  素数测试

记  

在  中随机选取一个整数  ， 如果  或  , 那么我们认为n是质数。

错误率不超过1/4，重复若干次即可。

long long mod_mul(long long,long long,long long);
long long mod_exp(long long,long long,long long); 
bool miller_rabbin(long long n)  
{  
    int i,j,t;
    long long a,x,y,u;
    if(n==2)return true;  
    if(n<2||!(n&1)) return false;  
    t=0;u=n-1;  
    while((u&1)==0) t++,u>>=1;  
    for(i=1;i<=tim;i++)  
    {  
        a=rand()%(n-1)+1;  
        x=mod_exp(a,u,n);  
        for(j=0;j<t;j++)  
        {  
            y=mod_mul(x,x,n);  
            if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false;  
             x=y;  
        }  
        if(x!=1) return false;  
    }  
    return true;  
} 
long long mod_mul(long long a,long long b,long long mod) 
{
    long long res=0;
    while(b) 
    {
        if(b&1) res=(res+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
long long mod_exp(long long a,long long b,long long mod) 
{
    long long res=1;
    while(b) 
    {
        if(b&1) res=mod_mul(res,a,mod);
        a=mod_mul(a,a,mod);
        b>>=1;
    }
    return res;
}

 

Pollard-rho算法 分解合数

 

 

中国剩余定理

解方程组   其中  两两互质。

 

 

大步小步法(BSGS)及其拓展

求最小的  使得  ， 为质数。

 

 

莫比乌斯反演

已知       求 。

 

 

原根的基本性质

 

 

拉格朗日定理

 

 

二次剩余