「图论」总结

利用邻接表存图，无向图边的数量应当开$2m$。常常会开错，开成$2n$或是$m$

1. Dijkstra

Dijkstra基于贪心思想。

两个集合。$S$中的点是已经确定了到源点的最短路的，$V-S$是未知的。此时，$V-S$集合中的$d$全部都是由$S$得来的，换句话说，这些d值对应的最短路统统经过S内的点。

每一步从$V-S$中选择一个$d$最小的点$i$加入$S$中，即最短路得以确定。这个最短路一定是由$S$中的点构成的，并且是$S$中所能构成的最优的，因为它是由$S$中所有与它相邻的点松弛后得来的。利用反证法：如果它还不是最优的，则存在一个点$p$使得

                     dis[$i$->$p$->起点]<dis[$i$->起点]                （1）

前者等于$dis(i,p)+d[p]$，后者等于$d[i]$。然而就目前状况来看，$d[i]<d[p]$，故（1）不成立。或曰$d[p]$还未确定，然而$d[p]$再松弛也不可能小于$d[i]$，因为它再要松弛也是被$i$或$d$比i更大的点松弛了。

因此有结论

                     dis[$i$->起点]≤dis[$i$->$p$->起点]               （2）

也正是因为（2）式，使得Dijkstra只能用于边权非负的图。因为如果$dis(i,p)<0$就不一定满足了。

由于每次都是从一集合中选择$d$最小的元素，故可以用堆来优化。一个点可能会被多条边松弛，因此可能同时在堆中有好几个。此时需要剔除后来的。有一种不用done数组的方法，就是判断堆中存的d值是否大于数组中的d值。如果堆中的偏大则剔除。

以每个点为起点进行松弛，最多松弛成功$m$次。每一次加入堆的复杂度是$logn$。因此Dijkstra堆优化的复杂度是$O(mlogn)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
inline int read(){
    int x(0),w(1); char c = getchar();
    while(c^'-' && (c<'0'||c>'9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c>='0' && c<='9') x = (x<<3) + (x<<1) + c - '0', c = getchar();
    return x*w;
}
struct node{ int u,d; };
int n,m,s,x,y,z,d[100010];
int head[100010],nxt[200010],to[200010],cost[200010],cnt;
priority_queue <node> q;
inline bool operator < (const node& a, const node& b){
    return a.d > b.d;
}
inline void add(int u, int v, int w){
    to[++cnt] = v;
    cost[cnt] = w;
    nxt[cnt] = head[u];
    head[u] = cnt;
}
inline void dijkstra(int S){
    for(int i = 0; i <= n+1; ++i) d[i] = 2000000000;
    d[S] = 0;
    q.push((node){S,0});
    int u,D;
    while(!q.empty()){
        u = q.top().u, D = q.top().d;
        q.pop();
        if(D > d[u]) continue;
        for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]){
            if(d[u]+cost[i] < d[to[i]]){
                d[to[i]] = d[u]+cost[i];
                q.push((node){to[i],d[to[i]]});
            }
        }
    }
}
int main(){
    n = read(), m = read(), s = read();
    for(int i = 1; i <= m; ++i){
        x = read(), y = read(), z = read();
        add(x,y,z);
    }
    dijkstra(s);
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        printf("%d ",d[i]);
    }
    return 0;
}

template_Dijkstra