引言
组合数学研究的主要问题：
- 存在性问题
- 计数和分类问题
- 构造性问题
- 优化问题
幻方问题
幻方的定义
幻方：一个 n 阶幻方是由整数 1，2，3…，n^2 按下述方式 组成的 n×n 方阵：该方阵每行上的整数的和、每列上的整数的和以及两条对角线中每条对角线上的整数的和都等于同一个数
幻和 S：每一行（或列或对角线）数字的和
\[1+2+3+...+n^2=\frac{n^2\left( n^2+1 \right)}{2}
\\
n\cdot S=\frac{n^2\left( n^2+1 \right)}{2}
\\
S=\frac{n\left( n^2+1 \right)}{2}
\]
幻方的存在性问题
- 不存在二阶幻方（反证法）
幻方的构造性问题
奇数阶幻方的构造：连续摆放法：
-
将
1放在(n+1)/2列第1行的方格中； -
按照副对角线方向（即行号减
1，列号加1）依次 把从小到大的各个数字放入相应的方格中； -
如果行号变成
0（第1行上面一行），则改成第n行相应列对应的方格； -
如果列号变成
n+1（第n列右面一列），则改成第1列相应行对应的方格； -
如果轮到的方格已经填有数字或者到了第
0行第n+1列对应的方格，则退到前一个方格正下方的方格.