想要直观地理解自然常数e的意义，可以把它理解为“在进行连续复利时，一个瞬时增长率为100%的单位时间内的增长率”。那么，对于\(e^x=e^{rate\times time}\)表示的就是在进行连续复利时，time个瞬时增长率为rate的单位时间内的增长率。很容易的，还可以再进行推广，对于\(a^x\)，情况又应该是怎么样呢？事实上，之前所说的“瞬时增长率为100%的单位时间”感觉有点太过于虚幻了，有什么更加明白的方式来描述吗？
我想应该不会有人忘记\(e^x\)的一个特殊性质，就是无论怎么求导，式子的整体都无需变化。也就是，在一个趋近于0的自变量变化量内，其瞬时变化率等同于原值，如果该变化率在一个单位时间内保持不变，那么一个单位时间后，值将变为原来的两倍。可是，也正因为瞬时变化率等同于原值，值应该以连续复利的方式增长，一个单位时间后，值变为了原来的e倍。对于更加一般的指数函数\(a^x\)，根据链式法则，\(a^x = e^{\ln(a)x}\)，一个单位时间后，值变为了原来的\(e^{\ln(a)}\)倍。增长得更加慢了，这是因为复利的机会变得更加稀疏了。对于\(a^x\)，由于更加稀疏的复利，相对于\(e^x\)，将使瞬时增长率降低为了原来的\(\ln(a)\)倍。
那么，\(a^x=e^{\ln(a)\times rate\times time}\)表示的就是在进行效率为连续复利\(\ln(a)\)倍的复利时，time个瞬时增长率为rate的单位时间内的增长率。
与此对应的，\(\ln(x)\)表示的是在进行连续复利时，增长到原值的x倍所需要的瞬时增长率为100%的单位时间，自然，我们也可以把上面所说的“瞬时增长率小于100%的单位时间”和“效率小于连续复利的复利”的概念引入到对数中，不过内涵是完全一致的，所以我这里也就不耗费这个功夫了。
不过，如果增长率是一个纯虚数，这代表着什么？首先是“增长”的含义将会被扩展。让我们在数轴上想象出代表当前的值的一个点。如果这个数轴在复平面内，你会不会觉得增长的含义被扩展了？对于一个纯虚数的增长率，在其还停留在最初位置的下一个瞬间，值应该垂直于实数轴上向上运动。连续的如此运动，使得该点不停旋转，最后形成一个圆。可以想见，如果复利并不是连续的，所形成的图形绝对不会是圆，只有e才能做到这样。至于为什么，我不会复变函数，证明不出来。如此，因为\(e^0 = 1\)，形成的圆就像是一个单位圆。对于单位圆，当然可以想到有：\(e^{xi} = \cos{x} + i \cdot \sin(x)\)。