-1.前言
\(\quad\)因为要学生成函数，所以就有了这一片文章，参考于 你也能懂的微积分 ，这里省去一些故事性的讲解，直接总结一下微积分数学方面的知识。
0.微积分的起源
\(\quad\)对于曲线面积的运算
1.初见积分
\(\quad\)对于阴影部分的面积表示就是以上微积分，这里的 \(dx\) 是一个无穷小的数， \(a,b\) 表示横坐标 \(x\) 。 也就是：
2.曲线和切线
\(\quad\)我们这样定义切线：先随便画一个直线，让这条直线与曲线有两个交点，这样的直线叫割线（仿佛把曲线“割断”了，如下图蓝色的AB）。然后，我们让B点沿着曲线慢慢向A点靠近，直观上，等到B点和A点重合之后，割线AB就变成了曲线在A点的切线。
\(\quad\)A、B两点必须无限靠近但又不能重合，这样它们的距离就无限接近0但又不等于0。这是什么？这不就又是无穷小么？
3.初见微分
\(\quad\)我们称 \(d_x,d_y\) 为微分
4.导数
\(\quad\)显然，我们在曲线的一点上定义了切线，那么在平滑曲线的其它点上也能定义切线。因为每条切线都有一个斜率，所以，曲线上的任何一点都有一个斜率值跟它对应。两个量之间存在一种对应关系，这是什么？这就是函数啊。
\(\quad\)函数y=f(x)不就是告诉我们：给定一个x，就有一个y跟它对应么？现在我们是给定一个点（假设横坐标为x），就有一个斜率dy/dx跟它对应。显然，这也是个函数，这个函数就叫导函数，简称导数。
\(\quad\)在中学的时候，我们通常在函数f(x)的右上角加上一撇表示这个函数的导数，那么现在这两种情况就都表示导数：
\(\quad\)举一个例子，对于函数 \(f(x)=x^2\) ，求导过程就是：
5.导数的意义
\(\quad\)因为导数反映的是一个量变化快慢的程度，这其实就是一种广义的“速度”。
\(\quad\)此外，有了导数，我们就能轻而易举地求一条曲线的极值（极大值或极小值），为什么？因为只要导数不为0，曲线在这里就是在上升（大于0）或者下降（小于0）的，只有导数等于0的地方，才有可能是一个极值点。
6.原函数
\(\quad\)如果 s 求导以西变成了 v ，那么 v 反向求导一次可以得到 s ，此时 s 是 v 的原函数。
7.微积分的基本定理
\(\quad\)有了f(x)=x²的原函数F(x)以后，怎么去求f(x)和x轴在0到1区间里围成的面积呢？原函数具有积分的效果，而积分就是曲线围成的面积，所以原函数也可以表示曲线围成的面积。
\(\quad\)因此，我们要求f(x)与x轴在0到1区间内围成的面积，直接用这个代表面积的原函数F(x)在1处的值F(1)减去在0处的值F(0)就完了。
8.初见极限
\(\quad\)当且仅当对于任意的ε，存在一个δ>0，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε，那么我们就说f(x)在a点的极限为L。记做：
9.积分的重建
\(\quad\)有了ε-δ极限之后，我们就可以刷新一下我们对积分的认知了：从现在起，我们把曲线围成的面积看成是一个极限，而不再是无数个无穷小量的矩形面积之和。于是，我们就说：曲线围成的面积就是这个极限A，它是n个矩形面积之和这个序列Sn的极限。
所以，我们就把这个极限过程表示的面积A定义为函数f(x)从a到b上的积分：
\(\quad\)这样，我们的积分就成了一个由ε-δ语言精确定义的极限。这里没有那个等于0又不等于0的无穷小量，一切都清清楚楚、明明白白，没有含糊的地方。
10.导数的重建
\(\quad\)积分解决了，微分这边也是一样。有了ε-δ定义之后，我们就再不能把导数看成是两个无穷小量的比值（dy/dx），而是：把导数也看成一个极限，对，还是极限。
\(\quad\)这个理解起来相对容易，函数在某一点的导数就是这点切线的斜率。我们前面也说了，切线就是当割线的两点不停地靠近，当它们的距离变成无穷小时决定的直线。
\(\quad\)很显然，这个定义是依赖无穷小量的，我们现在要用ε-δ定义的极限来代替这个无穷小量。所以，切线就应该被理解为割线的极限，那么切线的斜率（也就是这点的导数）自然就是割线斜率的极限，所以导数f(x)’也自然而然地成了一个极限。
\(\quad\)由于割线的斜率就是用这两点的纵坐标之差f(x+Δx)-f(x)除以这两点的横坐标之差（x+Δx-x=Δx），而导数f(x)’是割线斜率的极限。那么，我们在割线斜率的前面加一个极限符号就可以表示导数f(x)’了：
\(\quad\)这才是导数的真正定义，它是一个极限，而不再是两个无穷小量dy与dx的商dy/dx。也就是说，按照极限的ε-δ定义，这个导数f(x)’的真正含义是：你任意给一个ε，我都能让割线的斜率与这个值的差比你给的ε更小。
11.微分的重建
\(\quad\)莱布尼茨当年认为导数是两个无穷小量dy和dx的商，所以他用dy/dx来表示导数。虽然现在导数不再是这个意思，但是莱布尼茨当年精心发明的这一套符号确实是非常好用，于是我们就继续沿用了下来。
\(\quad\)也就是说，我们今天仍然用dy/dx表示导数，但是大家一定要注意，dy/dx在现代语境里是一个极限，不再是两个无穷小量的商。
\(\quad\)微分的严格定义是这样的：对于Δy是否存在着一个关于Δx为线性的无穷小A·Δx（A为常数），使它与Δy的差是较Δx更高阶的无穷小。也就是说，下面这个式子是否成立：
\(\quad\)o(Δx)就表示Δx的高阶无穷小，从字面上理解，高阶无穷小就是比无穷小还无穷小。当Δx慢慢趋向于0的时候，o(Δx)能够比Δx以更快的速度趋向于0。比如当Δx减小为原来的1/10的时候，o(Δx)就减小到了原来的1/100，1/1000甚至更多。
\(\quad\)如果这个式子成立，我们就说函数y=f(x)在这点是可微的，dy=A·Δx就是函数的微分。因为这是一个线性函数，所以我们说微分dy是Δy的线性主部。
\(\quad\)举一个例子，我们都知道半径为r的圆的面积公式是S=πr²。如果我们让半径增加Δr，那么新的圆的面积就应该写成π（r+Δr）²，那么，增加的面积ΔS就应该等于两个圆的面积之差：
\(\quad\)大家看到没有，这个式子就跟我们上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一样的。只不过我们把x和y换成了r和S，A在这里就是2πr，这里的π（Δr）²是关于Δr的平方项，这不就是所谓的高阶（平方是2阶，Δr是1阶，2比1更高阶）无穷小o(Δx)么？
\(\quad\)所以，它的微分ds就是2πr·Δr这一项：
\(\quad\)它的几何意义也很清楚：这就是一个长为2πr（这刚好是圆的周长），宽为Δr的矩形的面积，好像是把这个圆“拉直”了所得的矩形的面积。
12.结语
\(\quad\)似乎明白又似乎不是很明白，不懂的话，最好还是要去看看那个开头的参考文。