2 矩阵
2.1 什么是矩阵
在数学中：矩阵是⼀个按照⻓⽅阵列排列的复数或实数集合。
线性代数中：矩阵是描述线性代数中线性关系的参数，即矩阵是⼀个线性变换， 可以将⼀些向量转换为另⼀些向量。
import numpy as np np.mat(np.random.randint(1,10,size = (3,4)))
2.2 矩阵的计算⽅法
2.2.1 矩阵的加减法
矩阵的加法与减法要求进⾏操作的两个矩阵A和B具有相同的阶， 假设矩阵A为m*n阶，矩阵B为m*n阶那么C=A+B|C=A-B也是m*n阶矩阵。
A = np.mat(np.random.randint(1,10,size=(3,4))) B = np.mat(np.random.randint(1,10,size=(3,4))) print(A) print(\'-----\') print(B) A-B
2.2.2 矩阵与数的乘法
将数λ与矩阵A相乘，就是将数λ与矩阵A中的每⼀个元素相乘。
A = np.mat(np.random.randint(1,10,size=(3,4))) print(A) A*1/3
2.2.3 矩阵与向量相乘
假设A为m*n阶矩阵，x为n*1的列向量，则Ax为m*1的列向量，计作：
A = np.mat([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) V = np.array([[2],[2],[2]]) print(A) print(V) A*V
2.2.4 矩阵与矩阵相乘
矩阵的乘法仅当第⼀个矩阵A的列数和第⼆个矩阵B的⾏数相等时 才能够定义，假设A为m*s阶矩阵，B为s*n阶矩阵，那么C=A*B是m*n阶矩阵。
A = np.mat([[1,2],[3,4]]) B = np.mat([[1,2],[3,4]]) print(A) print(B) A*B
np.multiply(A,B)
2.2.5 矩阵的转置
把矩阵A的⾏和列互相交换所产⽣的矩阵称为A的转置矩阵，这⼀过程叫做矩阵的转置。 ⽤
表示。
矩阵转置的⼏个性质
# A = np.mat([[1,2],[3,4]]) print(A) # print(\'------\') # print(A.T) # print(\'------\') # print(A.T.T) # print((3*A).T) # print(3*(A.T)) A = np.mat([[1,2,3],[4,5,6]]) B = np.mat([[1,2,3],[4,5,6]]) # print((A*B).T) # print(B.T*A.T) print((A+B).T) print(A.T+B.T)
2.3 矩阵的导数
2.3.1 常⽤的导数
2.3.2 常⽤的矩阵导数
2.4 ⼏种特殊的矩阵
2.4.1 零矩阵
矩阵中各个元素全为0的矩阵。
import numpy as np np.mat(np.zeros((3,4))) np.mat(np.ones((3,4))) np.mat(np.twos((3,4))) # x
2.4.2 单位矩阵
主对⻆线上的元素都是1，其他元素都是0的矩阵。
np.identity(4)
2.4.3 对⻆矩阵
主对⻆线之外的元素皆为0的矩阵
np.diag((1,2,3,4))
2.4.4 对称矩阵
是指以主对⻆线为对称轴，各元素对应相等的矩阵
对称矩阵的⼀个性质：
X = np.mat([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]) A = np.triu(X) X = A+A.T-np.diag((np.diagonal(X))) print(X)
2.4.5 正交矩阵
如果矩阵满⾜
（单位矩阵），则称该矩阵为正交矩阵。
2.4.6 正定矩阵
对应的空间曲⾯：
效果： 具有唯⼀的最⼩值。
2.4.7 半正定矩阵
对应的空间曲⾯：
效果： 具有不唯⼀的最⼩值。
2.4.8 不定矩阵
对应的空间曲⾯：
效果： 存在鞍点，⽆最⼩值点，也⽆最⼤值点。
2.4.9 负定矩阵
对应的空间曲⾯：
效果： 具有唯⼀的最⼤值。
2.4.10 半负定矩阵
对应的空间曲⾯：
效果： 具有不唯⼀的最⼤值。
正定矩阵的⼏个性质：
定矩阵的⾏列式恒为正；
实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
两个正定矩阵的和是正定矩阵；
正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。