二维随机变量

二维随机变量
二维离散型随机变量
二维连续型随机变量
- 概率密度函数
- 边际密度函数
二维正态分布
二维随机变量的独立性
条件分布
- 二维离散型随机变量的条件分布
- 二维连续型随机变量的条件分布
极值和顺序统计量

二维随机变量

二维随机变量的定义：

Ω为样本空间，ω ∈ Ω，X = X(ω)，Y = Y(ω)，X和Y是两个定义在Ω上的随机变量

(X, Y)就构成一个二维随机变量

联合累积分布函数： \(F(x, y) = P\{X <= x, Y <= y\}\)

可以通过以下公式计算二维随机变量落在某个区间的概率

联合累计分布函数具有以下性质

同理，我们可以定义出n维随机变量(\(X_1，X_2，... ，X_n\))

二维离散型随机变量

频率函数

二维离散型随机变量的频率函数如下

边际累积分布函数

\((X,Y)\)整体的概率特性是\(F(X,Y)\)

与此同时，X的概率特性是\(F_x(X)\)，Y的概率特性是\(F_y(Y)\)，将他们称为边际分布函数

他们的定义如下

随机变量的边际分布函数完全由联合分布函数确定

边际频率函数

二维随机变量中每个随机变量的边际频率函数定义如下

二维连续型随机变量

概率密度函数

若对于二维随机变量 (X, Y) 的累积分布函数，存在

\(F(X, Y) = \int_{-∞}^{x}\int_{-∞}^{y}f(x, y)dxdy\)

则称\((X, Y)\)是二维连续性随机变量

将\(f(x, y)\)称为联合概率密度函数

边际密度函数

二维正态分布

联合密度函数如下

若(X, Y)服从二维正态分布，则X和Y各自也服从正态分布