【MOOC】信息安全数学基础（上交）（1）整数的可除性

授课老师：陈恭亮

文章目录

整除因数
素数与厄拉脱塞师筛法
欧几里得除法与素数的评分判别
最大公因数与广义欧几里得除法
贝祖（Bezout）等式
最大公因数进一步的性质
整数的进一步性质及最小公倍数
算数基本定理与素数定理与最小公倍数

整除因数

（1.1）0是任何非零整数的倍数，1是任何整数的因数，任何非零整数a是其自身的倍数，也是其自身的因数。
（1.2）2、3、5分别整除30，30被2、3、5分别整除，记作 2|30、3|30、5|30.

素数与厄拉脱塞师筛法

（2.1）一个合数的最小正因数p一定是素数，且p≤√n
（2.2）寻找素数的确定性方法：厄拉脱塞师（Eratosthenes）筛法
列出N个整数及≤√N的所有素数，从N中删除所有素数的倍数，余下的就是所有不超过N的素数
N=20；≤4的素数：2、3；删除2 4 6 8 10 12 14 16 18 20、3 6 9 12 15 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 5 7 11 13 17 19

欧几里得除法与素数的评分判别

（3.1）欧几里得除法（Euclid）/带余数除法：
$a = q·b + r$ ; q与r 有唯一存在性
q叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得的余数；b|a（整除）=== r=0
【MOOC】信息安全数学基础（上交）（1）整数的可除性
q·b ≤ a < (q+1) b;
0 ≤ a-q·b < b;
0 ≤ r < b
（3.2）[x]：x的整数部分，小于等于x的最大整数。即 [x] ≤ x < [x]+1

（3.3）素数判别：是否能被≤√N的所有素数整除

最大公因数与广义欧几里得除法

（4.1）最大公因数：（14，21）= 7，（0，a）= |a|
（4.2）广义欧几里得除法：不全为0的整数a b c，若 $a =q·b + c$ ，则 $（a,b）=（b,c）$ ，即将求解较大的两个数a,b的公因数转化为求较小的两个整数b,c的公因数
例如，求（-1859，1573）
1859 = 1 · 1573 + 286
1573 = 5 · 286 + 143
（-1859，1573）=（1573，286）=（286，143）= 143

贝祖（Bezout）等式

（5.1）Bezout等式： $s·a + t·b = (a,b)$
例如，（a,b）= （-1859，1573）= 143，求 s·a + t·b = (a,b)
143 = 1573 + (-5)·286
143 = 1573 + (-5)·(1859+(-1)1573)
. . . .= 1573·6 + 5·(-1859)
∴s = 5,t = 6满足s·a + t·b = (a,b)

最大公因数进一步的性质

（6.1）求多个整数的最大公因数，可以用递归的方法
$(a_1,a_2)=d_1 , (d_1,a_3)=d_2 , (d_2,a_4)=d_3 ······$

整数的进一步性质及最小公倍数

（7.1）每个证整数都可以表示为素数的乘积，且表达式是惟一的，又叫标准分解式， $n = p_1^a···p_n^b，a,b≥ 0$
如45=3²·5，100=2²·5²，1024=2¹⁰
（7.2）当α_i > 0，n的因数个数为 $d(n) = (1+α_1)···(1+α_s)$
（7.3）最大公因数（a,b），最小公倍数[a,b]，有 $(a,b)[a,b]=a·b$
（7.4）求多个整数的最大公因数和最小公倍数：
例1：求120，150，210，35的最大公因数和最小公倍数
120=2³·3·5，150=2·3·5²，210=2·3·5·7，35=5·7
(120,150,210,35) = 2^min(3,1,1,0)·3^min(1,1,1,0)·5^min(1,2,1,1)·7^min(0,0,1,1) = 5
[120,150,210,35] = 2^max(3,1,1,0)·3^max(1,1,1,0)·5^max(1,2,1,1)·7^max(0,0,1,1) = 4200
（7.5） $[a,b]=a'·b' ， (a',b')=1$
例2：a = 79720245000 = 2³·3²·5⁴·7⁰·11⁶，b = 9318751596 = 2²·3⁶·5⁰·7⁴·11³
[a,b] = 2³·3⁶·5⁴·7⁴·11⁶ = a’·b’
a’ = 2³·5⁴·11⁶，b’ = 3⁶·7⁴ -------→ (a’,b’)=1
（7.6）设 π(x) 表示小于x的素数个数，p_n 是第n个素数。则有
$\frac{{\rm ln}2·x}{3a·{\rm ln}x}<π(x)<\frac{x}{{\rm ln}x}·6{\rm ln}2$ $\frac{1}{6{\rm ln}2}·n{\rm ln}n< p_n <\frac{8}{ln2}·n{\rm ln}n$
（7.7）素数定理： $\lim_{n \to \infty} \frac{π(x)}{\frac{x}{{\rm ln}x}}=1$

算数基本定理与素数定理与最小公倍数

（8.1）若 $p|ab，则p|a或p|b$ ，扩展：若p是素数， $p|a_1a_2···a_n，$ 则 p 一定整除某个 a_k
（8.2）若a,b互素，则（1） $若a|D,b|D，则a·b|D$ ，（2） $[a,b]=a·b$
（8.3） $[a,b] (a,b)=a·b$
例如：求120，150，210，35的最小公倍数
$[120,150]=\frac{120·150}{（120,150）}=\frac{120·150}{30}=600$
$[600,210]=\frac{600,210}{(600,210)}=4200$
$[4200,35]=4200$