LQR最优设计是指设计出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数J取最小值，而K由权矩阵Q与R唯一决定，故此Q,R的选择 尤为重要。
Apollo 使用 LQR 进行横向控制。横向控制包含四个组件：
横向误差
横向误差的变化率
朝向误差
朝向误差的变化率
上面四个组件的集合为X，这个集合X捕获车辆的状态。除了状态之外，该车有三个控制输入：转向，加速 和制动。这三个控制为集合U
离散线性系统
(1)
LQR的目标就是找到一组控制量 使
足够小，即系统达到稳定状态；
足够小，即花费较小的控制代价。
为了达到上述效果，定义代价函数：
(2)
其中x为状态量，u为控制量，Q为状态权重矩阵，R为控制权重矩阵，为最终状态权重矩阵，N为到达最终状态的控制序列数。
根据代价函数，再定义表示为从t时刻的状态z开始，通过最优控制序列，获得的到结束后的最小代价。
(3)
根据公式3可得，当t=N时有：
（4）
即只和最终状态有关。可以想到如果t时刻获取最优控制，上一时刻t-1也应该是最优控制，这样
倒推上一状态的控制来获取控制序列。
顺着这个思路，上一时刻与当前时刻的关系有：
(5)
其中公式6是当前时刻的代价，公式7是当前时刻到下一时刻到最终时刻的代价。
（6）
（7）
至此，求解最优化控制序列转化为动态规划问题。
因为当前状态z与优化命题无关，公式5可以改写为：
（8）
根据公式4形式，假设t时刻的代价有如下表达形式：
（9）
把改写为与t时刻同样的形式，代入公式8后，有：
（10）
这样对于无约束凸优化问题，只需令其导数等于0即可求得最优解。对公式10中求最小控制量的矩阵求导得：
（11）
由公式11求最优控制有：
（12）
将该控制量带入公式8，有：
（13）
（14）
(15)
公式15中为：
（16）
当t=N时，有,而
(17)
在公式15中P的推导表达式可以得到，任意时刻t有表达式
(18)
自此，构造完满足凸优化条件的求解方程。
同时，当t相对时域N很小时，P趋于稳定不变，有：
(19)
公式19被称为代数黎卡提方程，结合公式12，有：
(20)
其中， (21)
原控制系统框图可以表示为：
其中K即为通过迭代求解黎卡提方程得到的等效闭环反馈矩阵。
至此，LQR算法求解过程可以总结为：
1. 令P等于最终状态权重矩阵；
2.迭代黎卡提方程求出新的P；
3. 当两次P的差值足够小时，计算反馈矩阵K；
4. 根据反馈阵K获取最优控制量u；
采用《Apollo控制算法之汽车动力学模型》一文中的模型，代入AD、BD、到以上算法对应各项，因模型中的CD项为常量，在LQR求解完成后加入即可获得最终所需的系统控制量。