2D-2D对极几何

今天跟着视觉SLAM十四讲 重新推导了一下2D-2D的对极几何公式,对坐标变化公式$P_{c2}=R×P_{c1}+t$Pc2​=R×Pc1​+t又有了新的认识
先放上参考链接:https://www.cnblogs.com/houkai/p/6661607.html

这里面到的这么一个关系:$P_{c2}=R(P_{c1}-T)$Pc2​=R(Pc1​−T)($T$T是两个相机光心之间的平移,注意此时是在$P_{c1}$Pc1​的坐标系下的),感觉很难理解,细想之后,搞明白了相机在做变换时候旋转和平移的先后顺序。
我们平时用的公式$P_{c2}=P_{c1}*R+t$Pc2​=Pc1​∗R+t,实际上是先做了旋转,然后再在旋转后的坐标系下平移$t$t,这时的小$t$t其实对我们而言并不直观,因为我们更倾向于它在$P_{c1}$Pc1​坐标系下的表示(我们一般会直接把$P_{c1}$Pc1​坐标系看作世界坐标系),而$T$T则直观很多,它直接表示了$P_{c1}$Pc1​到$P_{c2}$Pc2​在世界坐标系($P_{c1}$Pc1​坐标系)下的位移。再由公式来看：

$P_{c2}=R（P_{c1}-T）=R×P_{c1}-R×T=R×P_{c1}+t$Pc2​=R（Pc1​−T）=R×Pc1​−R×T=R×Pc1​+t
得到:$t=-R×T$t=−R×T

这就更直观的看到，其实他们之间的关系就是一个旋转的关系，至于负号，R代表的是光心之间的平移，反映到点的坐标变换时，应该加个负号（例如坐标系整体右移5个单位，坐标系中的点的横坐标都会减5）

总之，我们平时用的$t$t，它表示的平移并不是我们直观看到的平移，而是相对与旋转之后的坐标系的平移。

搞清楚了这个，接下来就是对极几何的公式推导了，我直接手写吧：
对极几何的约束:

$p_2^TK^{-T}t$p2T​K−Tt^$RK^{-1}p_1=0$RK−1p1​=0

本质矩阵: $E=t$E=t^$R$R
基础矩阵: $F=K^{-T}EK_{-1}$F=K−TEK−1​
则对极几何约束为: $p_2^TFp_1=0$p2T​Fp1​=0
根据匹配点的像素,求出E或F,然后求出R和t。