风险资产的最优组合公式证明

如果在下面的各种理论中有任何不懂的地方，欢迎移步百度或者谷歌

风险资产的最优组合公式及说明

~~不管三七二十几~~ ，先给出公式：
$\omega=\dfrac{[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2-[E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2}{[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2+[E(r_2)-r_f]\sigma_1^2-[E(r_1)-r_f+E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2}$
公式应用场景：
       首先，你要对Harry M. Markowitz（马科维兹）的均值——方差模型表示肯定。
       其次，你的资产组合仅仅包括两种风险资产和一种无风险资产，而且你要知道两种风险资产的期望收益率、风险和相关系数，还要知道无风险资产的预期收益率。
       那么，根据Harry M. Markowitz的资产组合理论，我们可以得到类似于下面的这幅图，图中曲线为两种风险资产的组合情况，曲线上不同的点代表了投资两种资产的不同比重；图中直线为无风险资产和风险资产相组合情况，其与纵坐标相交的点所代表的预期收益率为无风险利率（这里为6%）。
       如果经过点T的直线与曲线只交于一点T，则说明我们找到了最有效资产组合的风险资产组合，而T点对应的特定风险资产的组合称为风险资产的最优组合。
       我们要做的就是找到这个T点，从而得到最有效资产组合，而找到T点也就意味着要知道两种资产组合在投资中分别所占的比重，即求 $\omega$ 。
~~原因我就不解释了，能点进来的应该都懂，绝不是因为我懒得写~~

风险资产的最优组合公式证明

图片来源：《金融学（第二版）》（博迪著）

公式参数说明：

参数	说明
$\omega$	风险资产1在风险资产组合中的权重（投资比例）
$E(r_1)$	风险资产1的预期收益率
$E(r_2)$	风险资产2的预期收益率
$r_f$	无风险资产的预期收益率
$\sigma_1$	风险资产1的风险（标准差）
$\sigma_2$	风险资产2的风险（标准差）
$\rho$	风险资产1和风险资产2的相关系数

风险资产的最优组合公式证明

       重中之重来了，大部分的书上和网络上都只有这个公式本身，却没有证明过程，~~主要因为证明过程非常恶心和繁琐~~ ，那我就在这里证明一下，不想自己动手又想知道证明过程的人千万不要错过。
       首先，让我们思考一个问题，当一条固定截距的直线与一个如图所示曲线相交时，切点处必然斜率最大，而斜率越大意味资产组合的风险每上升固定数值，可以得到的预期收益率的上升越大，那么在切点处我们可以获得最有效资产组合，即T点。
       在公式证明之前先引入三个没出现过的参数， $E(r_N)$ 为N点(任意一点）代表的风险投资组合的预期收益率， $\sigma_N$ 为N点代表的风险投资组合的风险（标准差）， $k$ 为该直线的斜率。我们可以根据之前所学的知识得出：
$E(r_N)=\omega E(r_1)+(1-\omega)E(r_2)$
$\sigma_N=\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}$
       假设直线与曲线交于N点，则
$k=\dfrac{E(r_N)-r_f}{\sigma_N}=\dfrac{\omega E(r_1)+(1-\omega)E(r_2)-r_f}{\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}}$
       我们的目的是要使得 $k$ 的值最大，即
$k=k_{max}=\dfrac{E(r_T)-r_f}{\sigma_T}$
       也就是说在 $k$ 对 $\omega$ 求导后使得导函数结果为0的 $\omega$ 就是T点的 $\omega$ （ $k$ 为 $\omega$ 的函数）：
$\scriptsize \dfrac{dk}{d\omega}=\dfrac{[E(r_1)-E(r_2)]\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}-\dfrac{[\omega E(r_1)+(1-\omega)E(r_2)-r_f][(\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega+\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2]}{\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}}}{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}=0$
$\LARGE \Downarrow$
$\footnotesize [E(r_1)-E(r_2)]\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}-\dfrac{[\omega E(r_1)+(1-\omega)E(r_2)-r_f][(\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega+\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2]}{\sqrt{\omega^2\sigma_1^2+(1-\omega)^2\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\omega(1-\omega)}}=0$
$\LARGE \Downarrow$
$\scriptsize [E(r_1)-E(r_2)][(\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega^2+(2\rho\sigma_1\sigma_2-2\sigma_2^2)\omega+\sigma_2^2]-[(E(r_1)-E(r_2))\omega+E(r_2)-r_f][(\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega+\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2]=0$
$\LARGE \Downarrow$
$\footnotesize [E(r_1)-E(r_2)](\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2)\omega-[E(r_2)-r_f](\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2)\omega+[E(r_1)-E(r_2)]\sigma_2^2-[E(r_2)-r_f](\rho\sigma_1\sigma_2-\sigma_2^2)=0$
$\LARGE \Downarrow$
$[(E(r_1)+E(r_2)-2r_f)\rho\sigma_1\sigma_2-(E(r_1)-r_f)\sigma_2^2-(E(r_2)-r_f)\sigma_1^2]\omega+[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2-[E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2=0$
$\LARGE \Downarrow$
$\omega=\dfrac{[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2-[E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2}{[E(r_1)-r_f]\sigma_2^2+[E(r_2)-r_f]\sigma_1^2-[E(r_1)-r_f+E(r_2)-r_f]\rho\sigma_1\sigma_2}$

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