树状数组上二分

树状数组+二分

考虑一个简单的问题，维护一个数组，支持每次修改一个数的值，保证每时每刻每个数都为非负数。每次查询求第一个前缀和≥$k$k的下标。

对于修改，可以用树状数组、线段树等数据结构维护。

二分查找
可以在$[l,r]$[l,r]的范围上二分答案，$mid = \lfloor \frac{l+r}{2} \rfloor$mid=⌊2l+r​⌋，验证$mid$mid的前缀和是否大于$k$k，并调整$mid$mid。时间复杂度$O(log^2_2n)$O(log22​n)

如果用线段树来做，维护区间和，每次判断$x$x在左儿子还是右儿子中，若在右儿子中，$x$x变为$x$x减去左儿子的区间和。时间复杂度$O(log_2n)$O(log2​n)

树状数组上二分

由于树状数组的特性，每个节点维护的区间长度均为$2$2的整数次幂，因此考虑使查询区间和时区间长度为$2$2的整数次幂且有节点维护。
设现在维护的树状数组$s$s，二分查找的区间为$(l,r]$(l,r]的区间，$l$l位置的前缀和为$lsum$lsum。$l$l初值为0，$r$r二分初值为二分上限。
当$r-l$r−l的值为$2$2的整数次幂时，$mid = \lfloor \frac{l+r}{2} \rfloor$mid=⌊2l+r​⌋，否则$mid = l$mid=l加$(0,r-l)$(0,r−l)中最大的$2$2的整数次幂。
当$k > s[mid] + lsum$k>s[mid]+lsum时，$l = mid$l=mid，$lsum = lsum + s[mid]$lsum=lsum+s[mid]，否则$r = mid$r=mid。
这样一直迭代，直到$l = r -1$l=r−1时退出。

这张图中k=$11$11，二分上界为$13$13。
补充说明：http://codeforces.com/blog/entry/71992
时间复杂度$O(log_2n)$O(log2​n)。

此算法优点：速度快
局限性：只能处理从下标一开始的前缀问题，不如线段树强大。