广义高斯平滑

广义高斯平滑

• 广义高斯RTS平滑器
• 高斯RTS平滑器
• Gauss-Hermite RTS平滑器
• 叠加型Gauss-Hermite RTS平滑器：
• 容积RTS平滑器
• 广义固定点平滑方程
• 广义固定滞后平滑方程

本文的前三部分展示的平滑方法对应广义高斯滤波中的部分。

广义高斯RTS平滑器

高斯RTS平滑器

叠加型高斯RTS平滑器：
上式中的积分方法也可以用类似的数值积分或滤波中的解析逼近方法逼近。

非叠加型高斯RTS平滑器
由于上述积分仅在特俗条件下才有闭型解，故以上算法主要用于理论分析。

Gauss-Hermite RTS平滑器

叠加型Gauss-Hermite RTS平滑器：

1). 选取 $\bm{sigma}$sigma 点：
2). 将 $\bm{sigma}$sigma 点带入动态模型：
3). 计算预测均值 $\bm{m_{k+1}^-}$mk+1−​，预测协方差$\bm{P_{k+1}^-}$Pk+1−​ 和互协方差$\bm{D_{k+1}}$Dk+1​：
4). 计算平滑增益 $\bm{G_k}$Gk​，平滑均值$\bm{m_k^s}$mks​ 和平滑协方差 $\bm{P_k^s}$Pks​：

该算法中不理解的参数定义参考广义高斯滤波。

采用类似的方法，非叠加型平滑器可以获得，但由于Gauss-Hermite容积法的计算量为状态维数的指数，非叠加型维度增加了噪声维数，因此不适用。

容积RTS平滑器

叠加型容积RTS平滑器：
1). 选取 $\bm{sigma}$sigma 点；
式中，单位 $\bm{sigma}$sigma 点的定义为：
2). 将 $\bm{sigma}$sigma 点带入动态模型中：
3). 计算预测均值 $\bm{m_{k+1}^-}$mk+1−​，预测协方差$\bm{P_{k+1}^-}$Pk+1−​ 和互协方差$\bm{D_{k+1}}$Dk+1​：
4). 计算平滑增益 $\bm{G_k}$Gk​，平滑均值$\bm{m_k^s}$mks​ 和平滑协方差 $\bm{P_k^s}$Pks​：

非叠加型容积RTS平滑器：

1). 选取 $\bm{n'=n+n_q}$n′=n+nq​ 个 $\bm{sigma}$sigma 点，$\bm{n'}$n′ 为扩展随机变量$\bm{(x_k,q_k)}$(xk​,qk​) 的维数；
式中，单位 $\bm{sigma}$sigma 点点定义与叠加型容积RTS平滑器中一致，只是将 $\bm{n}$n 换为 $\bm{n'}$n′ 。
且：2). 将 $\bm{sigma}$sigma 点带入动态模型中：式中，$\bm{\widetilde\chi_k^{(i),x}，\widetilde\chi_k^{(i),q}}$χ​k(i),x​，χ​k(i),q​ 分别表示 $\bm{i}$i 处对应的 $\bm{x_k,q_k}$xk​,qk​ 对应的 $\bm{sigma}$sigma 点。
3). 计算预测均值 $\bm{m_{k+1}^-}$mk+1−​，预测协方差$\bm{P_{k+1}^-}$Pk+1−​ 和互协方差$\bm{D_{k+1}}$Dk+1​：
4). 计算平滑增益 $\bm{G_k}$Gk​，平滑均值$\bm{m_k^s}$mks​ 和平滑协方差 $\bm{P_k^s}$Pks​：

该算法为无迹RTS平滑器在参数$\bm{\alpha=1,\beta=0,\kappa=0}$α=1,β=0,κ=0 时的特例。

广义固定点平滑方程

此方法可以有效的计算状态空间模型的初始状态或某些固定时刻状态的最优估计，只需获取该时刻之后的量测量。

对于 $\bm{j}$j 时刻的广义高斯固定点平滑器，可以通过对每一时刻 $\bm{k=1,2,3,\cdot \cdot \cdot}$k=1,2,3,⋅⋅⋅ 执行如下步骤实现：
1). 计算增益：
根据滤波结果计算预测均值 $\bm{m_{k|k-1}}$mk∣k−1​，预测协方差$\bm{P_{k|k-1}}$Pk∣k−1​ 和互协方差 $\bm{D_k}$Dk​。再计算平滑增益：
$\bm{G_{k-1}=D_k[P_{k|k-1}]^{-1}.}$Gk−1​=Dk​[Pk∣k−1​]−1.2). 固定点平滑：
(a). 若 $\bm{k<j}$k<j，则仅保留滤波结果。
(b). 若 $\bm{k=j}$k=j，则令 $\bm{B_{j|j}=I}$Bj∣j​=I。$\bm{j}$j 时刻固定点平滑均值和协方差分别基于滤波均值和协方差。
其中，$\bm{B_{j|k}=G_j\times\cdot\cdot\cdot\times G_{k-1}}$Bj∣k​=Gj​×⋅⋅⋅×Gk−1​(c). 若 $\bm{j<k}$j<k，则计算平滑增益以及固定点平滑均值和协方差：

广义固定滞后平滑方程

此方法用于在已知截止到当前时刻以及将来固定时长区间内的所有量测量的条件下，计算状态空间模型的含有一定延迟的估计。

对每一时刻 $\bm{k=1,2,3,\cdot\cdot\cdot}$k=1,2,3,⋅⋅⋅，广义高斯固定滞后平滑算法可以通过以下步骤执行：
1). 计算增益：
在每一步高斯滤波的预测中同时计算并储存预测均值 $\bm{m_{k|k-1}}$mk∣k−1​，预测协方差 $\bm{P_{k|k-1}}$Pk∣k−1​ 和互协方差 $\bm{D_k}$Dk​，同时计算并储存平滑增益：
$\bm{G_{k-1}=D_k[P_{k|k-1}]^{-1}}$Gk−1​=Dk​[Pk∣k−1​]−1 2). 固定滞后平滑：
利用储存的增益序列，从滤波时刻 $\bm{j=k}$j=k 开始向后推导，逐步计算每一步 $\bm{j=k-n,\cdot\cdot\cdot, k}$j=k−n,⋅⋅⋅,k 的平滑值：($\bm{n}$n 为时滞参数)

每一步的计算量随滞后时长线性增长，但是此方法稳定性较强。

（本文为个人笔记，如有错误，欢迎留言交流）