大O计数法

  常见的大O计数法


  对于下列代码片

  赋值操作的数量是4项之和：$T(n)=3+3n^2+2n+1$T(n)=3+3n2+2n+1。第1项是常数3，对应起始部分的3条赋值语句。第2项是$3n^2$3n2，因为有3条语句要在嵌套循环中重复$n^2$n2次。第3项是$2n$2n，因为两条语句要循环$n$n遍。第4项是常数1，代表最后那条赋值语句。$T(n)=3+3n^2+2n+1=3n^2+2n+4$T(n)=3+3n2+2n+1=3n2+2n+4很容易看出来，$n^2$n2起主导作用，所以这段代码的时间复杂度是$O(n^2)$O(n2)。当$n$n变大时，其他项以及主导项的系数都可以忽略。

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  对于下列代码片

  分析这个算法。注意，对于$s1$s1中的$n$n个字符，检查每一个时都要遍历$s2$s2中的$n$n个字符。要匹配$s1$s1中的一个字符，列表中的$n$n个位置都要被访问一次。因此，访问次数就成了从1到$n$n的整数之和。这可以用以下公式来表示。
$\sum_{i=1}^{n}=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$i=1∑n​=2n(n+1)​=2n2​+2n​
  当n变大时，起决定性作用的是$n^2$n2，而$\frac{1}{2}$21​可以忽略。所以，这个方案的时间复杂度是$O(n^2)$O(n2)。

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  尽管s1与s2是不同的字符串，但只要由相同的字符构成，它们就是异序词。基于这一点，可以采用另一个方案。如果按照字母表顺序给字符排序，异序词得到的结果将是同一个字符串。下图代码给出了这个方案的实现代码。在Python中，可以先将字符串转换为列表，然后使用内建的sort方法对列表排序。

  乍看之下，你可能会认为这个算法的时间复杂度是$O(n)$O(n)，因为在排序之后只需要遍历一次就可以比较$n$n个字符。但是，调用两次sort方法不是没有代价。我们在后面会看到，排序的时间复杂度基本上是$O(n^2)$O(n2)或$O(nlogn$O(nlogn)，所以排序操作起主导作用。也就是说，该算法和排序过程的数量级相同。