卡尔曼算法思想理解 Kalman filter 第二篇

卡尔曼算法思想理解 Kalman filter 第二篇

接下来这篇， 要从算法的角度出发了

还没上车的朋友们 请从卡尔曼算法思想理解 Kalman filter 第一篇 务必先读过， 没有公式没有公式没有公式

首先我们将上一篇太空船的例子借用一下， 还记得我们用了一个K控制器 放在测量与观察之间吗？ 也记得我们说过K是要将y与yhat之间的误差降至最小对吧？

这一整个浅蓝色的部位我们可以理解为一个状态观察器 state observer, 主要功能就是将x与xhat的误差降到最低

让xhat直逼x

• x 表示实际要测量的燃烧室维度
• x_hat表示预测出的燃烧室温度

在看到右式

1. 第一行 ： e_obs 就表示误差值 $x - \hat{x}$x−x^
2. 第二行 ：xpot = Ax+Bu , y = Cx 这表示整个测量过程的数学等式
3. 第三行 ：xhat = Axhat + Bu + K(y-yhat) , yhat =Cxhat , 这表示预测的整个过程
   • 这特别注意这里有多了一个K(y-yhat), 表达的就是在原先预测的基础上添加了K控制器来调控误差， 看图上浅蓝色的部位， 就很清楚明了， 在下方y与yhat相减之后到K进行控制然后再回到预测model中， 这就是我们的状态观察器(State Obsever)了
4. 第四行 ： 所以误差就是第二和第三方程式相减

整个式子搭配左边的图对照起来就非常清楚了

最终可以简化成

$e_{obs} = (A - KC)^e_{obs}$eobs​=(A−KC)obse​ , $y-\hat{y} = Ce_{obs}$y−y^​=Ceobs​

好， 讲这个状态观察器说的这么多做什么呢？主要是先得有观念

主要还是要为了Kalman铺陈一下的

现在回到自驾车比赛的例子， 下面这张图还有印象的吧

没有的话就复习一下

• 上面属于测量measurement ：主要从自驾车起始点到终点线的过程， 中间还有一些噪声影响速度比如风啊什么的
• 下面属于预测predicition ： 也就是设计了一套算法预测出到终点线的位置

现在我们把自驾车的例子也写成公式摊开与**状态观察器(State Observer)**对照， 是不是几乎是一样的？

实际上卡尔曼就算是一个状态观察器， 只不过设计为多用途的

这个下面的公式可能会稍微想久一点， 其实就把太空船状态观察器的式子套用到自驾车比赛上就是了

现在我们单独把Kalman filter 拉出

可以看到圈起来的两个$\hat{x_k}$xk​^​并不是同一个预测值

等式左边的$\hat{x_k}$xk​^​表示的是当前的

右手边的$\hat{x_k}$xk​^​表示前一个， 是将当前测量值添加进来之前 就计算出的， 就叫做Prior Estimate

我们将 $（A\hat{x}_{k-1}+Bu_k）$（Ax^k−1​+Buk​） 统一成$\hat{x_k}$xk​^​加上一横竖， 式子如下

现在式子变成三个部分了

• 后预测值 Poserior Estimate
• 前预测值 Predict
• 更新条件 Update

好， 到了这边

Kalman filter的形式就是如公式那样， 容易看懂吧 ？当前值 = 前值 + 更新， 不就类似梯度下降更新的过程吗？

接下来深究一下更新的过程

我们讲过Kalman可以将预测与测量相乘后得到方差更小的高斯分布

这个方差值 我们记做P， 看下图

看到一堆公式别慌， 这只是要告诉我们是如何利用Kalman filter更新预测的结果的

先看左边predition， P就是高斯分布内（预测）的方差， 注意到最一开始的预测肯定是没办法带入到Update 来调整的， 为啥？ 因为一开始肯定还没有修正值啊， 所以初始$\hat{x_{k-1}}$xk−1​^​及 $P_{k-1}$Pk−1​都是用初始值计算

怎么更新呢？ 看右边的Update, 将得到的$P_{k}$Pk​带入更新式子， 透过K 更新之后就能得到一个

新的 $\hat{x}_k$x^k​（后预测值） 及 $P_k$Pk​（更新后方差）

那么如何调整K 控制器就很重要了， K是影响测量与误差的关键方程式

这里就引入新的概念 卡尔曼增益 就是 K

假设我们测量过程中的噪音很小， 那就说明测量的值是相对更精确的， 如下图$y_k$yk​对于计算的贡献是比较大的

如果用极端的例子， 我们将测量的协方差R逼近0（说明测量结果非常精准）， 以数学新式表达就如下面

最终结果 $\hat{x}_k = y_k$x^k​=yk​ 也就是明显后预测的结果跟测量完全一样

下图则是相反情况， 预测值更可靠的话

看到这部应该可以有八成的理解了吧？maybe 九成？

Update 结束后就能得到修正后的值，这个值就继续用来预测新的预测值， 不断迭代下面方程来获取最优的点

特别注意计算最新的预测值只需要上一步的预测值以及当前误差的协方差矩阵， 而不需要过去所有迭代过的旧预测值

这一篇还是需要多思考一下就很容易理解了， 下一篇。。。。

也不晓得有没有下一篇….

写些大家

欢迎各界大佬点评评论补充知识一同学习 ！

参考

油管/watch?v=VFXf1lIZ3p8&list=RDCMUCgdHSFcXvkN6O3NXvif0-pA&start_radio=1&t=470