测度转换 (上) – 等价物转换

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引言

本文是金融工程系列的第十二篇

1. 弄清量化金融十大话题 (上)

2. 弄清量化金融十大话题 (下)

3. 金融工程高度概览

4. 日期生成
   

5. 变量计算

6. 模型校正
   

7. 曲线构建 I - 单曲线

8. 曲线构建 II - 多曲线 (基差)
   

9. 曲线构建 III - 多曲线方法 (抵押品)

10. 测度转换 (上) - 等价物转换

11. 测度转换 (下) - 漂移项转换

12. 产品估值理论

13. 产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF)

14. 产品估值 - 偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)

15. 产品估值 - 蒙特卡洛模拟法 (MC)

16. 产品风险理论 (AAD)

17. 风险计量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)

18. 风险计量 - 风险价值 (VaR)

19. 价值调整 - 凸性调整

20. 价值调整 - Quanto 调整

21. 价值调整 - 时间调整

22. 价值调整 - CVA

23. 价值调整 - DVA

24. 价值调整 - FVA

25. 价值调整 - MVA

26. 价值调整 - KVA

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引言

对金融产品估值时，我们会对某些随机变量在某种测度下求期望。

1. 如果通过转换测度（测度 A 到测度 B）能减少变量个数的话，比如期望符号里从两个随机变量减少到一个随机变量，那么问题会大大简化。
   

2. 简化完了问题之后，我们还需要知道剩余的随机变量的在测度 B 下的随机微分方程（漂移项改变，扩散项不变），这样才能最终完成推导。

本篇讲第一个问题（测度转换之等价物转换），下篇讲第二个问题（测度转换之漂移项转换），我知道现在你听的一头雾水，希望看完这两篇后你能明白其含义。

首先我们需要理解什么是等价物（numeraire）。

等价物就是单位。

• 一台苹果手机价值 1,000 新币，这时等价物是新币     

• 一辆马自达三价值 90,000 新币，这时等价物也是新币

• 一辆马自达三价值 90 台苹果手机，这时等价物是苹果手机

大家可能会问，有人会傻到用苹果手机衡量马自达三的价值吗？的确不会，但是如果是下面这种情况呢？

• 一个简单产品价值 1,000 新币，这时等价物是新币

• 一个复杂产品很难直接用新币估值，但是有种方法可以快速得到它和简单产品之间的关系

• 通过一些数学转化，得到复杂产品价值 1.5 倍简单产品，这时等价物是简单产品，而且可得复杂产品价值 1,500 新币

在金融产品估值时，选择某种等价物会大大简化其估值过程。而选择哪种就等价物需要经验了，常见的等价物有活期存款 (bank account)，零息债券 (zero-coupon bond) 和年金 (annuity)。

1

基础知识

1.1

概率测度

概率测度（probability measure）就是不同状态下的概率集合。

当你投一枚硬币看正反面

• 如果你认为硬币是公平的，那么 P(正) = P(反) = 0.5，P 就是一个概率测度。

• 如果你认为硬币是不公平，正面比反面出现的次数多很多，大概 8 比 2 的样子，那么 Q(正) = 0.8 和 Q(反) = 0.2，Q 也就是一个概率测度。

这个壮态就是硬币是否公平。但是金融产品估值时，我们更关心的是用某个资产生成的概率密度。下面是整个故事的来龙去脉。

假设明天天气有三个状态，晴、阴、雨，以及预测三个状态发生的概率，50% 晴天，30% 阴天和 20% 雨天。现在我为你定制一个产品，它明天晴天时付你 1 元，阴天时付你 3 元，雨天时付你 2 元，你愿意以多少钱买这个产品？很简单，算出该产品未来价值的期望即可：

    产品价值 = 50%×1 + 30%×3 + 20%×2 = 1.8

                           

如果我以高于 1.8 元的价格卖给你这个产品，你不会向我买因为它高过你对它的期望价值；如果你以低于 1.8 元的价格向我买这个产品，我不会卖给你因为它低过我对它的期望价值。(为了举例简单，我们没考虑一天的折现因子，要知道明天的 1 块钱没有今天的 1 块钱值钱，好像也不对，现在负利率在瑞士和欧洲还蛮普遍的)

将上面“明天天气有 3 个状态”的例子扩展到“明天世界有 K 个状态”的例子，并把每个状态的折现因子也考虑进来。考虑两个资产 A 和 B，类比上面公式我们有：

其中

• A(0), B(0) = A 和 B 今天的价值

• A_k(T), B_k(T)= A 和 B 在时点 T 状态 k 下的价值

• φ_k = 在时点 T 支付 1 在状态 k 下的现值 = 状态 k 发生的概率 × 折现因子

把 B 当成 A 的等价物，我们有

根据 π_k 的表达式，我们观察到以下两点：

1. 它严格大于 0 而且其总和为 1，因此可把一系列 π_k 看成是一个概率测度。

2. 它里面只有 B 没有 A，所以此概率测度是由等价物资产 B 生成出来的。

将上式整理一下得到

其中 E^B 代表在“由等价物资产 B 生成出来的概率测度”下的期望。这个公式强大之处是选择B的自由度。例如我们要估值资产 A 的价值，对某一个等价物 B 来说，在它生成的概率测度下求 A_k(T)/B_k(T) 特别简单，那么我们就把 B 当做等价物。

1.2

测度转换初体验

一个等价物对应着一个概率测度，换测度就是换等价物。这节我们想弄清楚三件事情：

1. 两个测度之间的概率联系是什么？

2. 两个测度之间的等价物联系是什么？

3. 为什么要变换测度？

测度之间的概率联系

还是用投硬币的例子，公平硬币的概率测度为 P(正) = 0.5 和 P(反) = 0.5；不公平硬币的概率测度为 Q(正) = 0.8 和 Q(反) = 0.2。假设 P 和 Q 是等价的，意思就是 P 和 Q 同意什么事件是一定发生的和什么事件是不可能发生的，例如

• P(硬币竖起来) = Q(硬币竖起来) = 0          [不可能]

• P(正面或反面) = Q(正面或反面) = 1          [一定]

那么 P 和 Q 之间有关系吗？有！

 

假设投硬币是正面你得 1 块钱 (用 x₁ 表示)，反面你得 2 块钱 (用 x₂ 表示)，问你愿意出多少钱玩？算出期望值不就可以了。

假设你认为硬币是公平的，用 p₁ 和 p₂ 来代表 P(正) 和 P(反)，q₁ 和 q₂ 来代表 Q(正) 和 Q(反)，那么期望为

      

其中 Z = P/Q 也是个随机变量有

• Z(正) = P(正) /Q(正) = 0.5/0.8 = 0.625

• Z(反) = P(反) /Q(反) = 0.5/0.2 = 2.5

• E^Q[Z] = q₁∙ (p_1/q₁) + q₂ ∙(p_2/q₂) = 1

从上式看出，一开始我们是在 P 测度下计算 X 的期望值，而到最后我们转到的 Q 测度。奇妙之处是我们用 Q 测度可以算 P 测度的值，唯一需要知道的是 Z 的表达形式。在概率论，这个 Z 叫做拉东-尼科迪姆导数 (Radon-Nikodym, RN derivative)，通常用 dP/dQ 来表示。

1.3

RN 导数

 

假设 A(t) 和 B(t) 是两个同币种的等价物，它们对应的概率测度为 Q^A 和 Q^B。那么从 Q^A 转到 Q^B 需要的 RN 导数为

证明如下表所示。

根据鞅定价公式我们可将金融产品的现值 V(0) 表示成 V(T)/A(T) 在 Q^A测度下的期望乘以 A(0)：

2

概率测度

选择概率测度就是选择等价物。

2.1

风险中性测度

风险中性测度（risk-neutral measure）是写出定价公式的第一步，

• 该测度对应的等价物是连续复利的银行存款 b(t)

• 该测度用 Q 来表示，期望符号用 E^Q 表示

银行存款 b(t) 的 SDE 满足：

我们知道 V(t)/b(t) 在 Q 测度下是鞅，因此

当我们把上面公式用到零息债时，即

那么我们有

令 t = 0，我们得到 0 点时观测的 T 时到期零息债价格（确定值）和从 T 时到 0 时的折现因子（随机值）的关系：

现在终于可以讲明零息债和折现因子之间的关系了，

• 在随机利率假设下，零息债价格是折现因子在风险中性测度下的期望。

• 在非随机利率假设下，零息债价格和折现因子是一样的。

两者之所以常被混淆成一样的，是因为在非随机利率假设下。

 

2.2

T-远期测度

T-远期测度（T-forward measure）的名字来由是在此测度下，远期价格或者远期利率是鞅。

• 该测度对应的等价物是零息债 P(t, T)，到期支付为 1 因此 P(T, T) = 1

• 该测度用 Q^T 来表示，期望符号用 E^T 表示

我们知道 V(t)/P(t, T) 在 Q^T测度下是鞅，因此

在随机利率环境下，比较在 T-远期测度和风险中性测度下的定价公式：

比较上面两个公式，在 Q^T测度下我们只用求 1个随机变量的期望，而在 Q 测度下我们需要求 2 个随机变量的期望，因此当利率是随机变量时，转换测度是必要的。从 Q 测度转到 Q^T测度对应的 RN 导数为

在 Q^T测度下求利率上下限（IR cap, floor）非常简单。我们拿 cap 中一期的 caplet 举例，在 T 点时的支付函数为

其中 L(U; U, T) 是在 U 点观察到的 U 点生效 T 点到期的 LIBOR，τ 是 U 到 T 之间的年限，K 是行权利率。

根据 LIBOR 定义

从上式可看出，LIBOR 可表示成两个可交易资产的商，分子是 1/τ 单位的 U 点到期和 T 点到期的零息债之差，分母是 T 点到期的零息债。那么 LIBOR 在 Q^T测度下是鞅。

下面来推导 caplet 公式，先从 Q 测度开始列出公式，再转换到 Q^T 测度，因为 caplet 支付函数中的 LIBOR 在此测度下是鞅，这样会简化推导过程（支付函数用红色表示，RN 导数用蓝色表示）。

当 L(U; U, T) 在 Q^T测度下是鞅，最后一行求期望就是一个简单的 BLACK 公式的推导。

2.3

即期测度

即期测度（spot measure）在一组离散的期限结构 0= T₀ < T₁ < T₂ < … < T_N 上计算远期利率时使用，

• 该测度对应的等价物是离散复利的银行存款 B(t)

• 该测度用 Q^B 来表示，期望符号用 E^B 表示

为了使符号看起来简单，用 L_n(t) 代表 L(t; T_n, T­_n+1)。

在 0 时点，投资 1 个货币单位在 T₁到期的零息债，那么在 T₁时点的支付为

在 T₁时点，继续将所得投资在 T₂到期的零息债，那么在 T₂时点的支付为

从 T₁到 T­_n重复以上的投资策略，我们可以得到 B(t) 其中 T_n< t ≤ T_n+1

当 max(τ_n) 趋近于 0，B(t) 趋近去连续复利的银行存款 b(t)，这是即期测度收敛于风险中性测度。

我们知道 V(t)/B(t) 在 Q^B测度下是鞅，假设 T_n < t ≤ T_n+1, T_m < T ≤ T_m+1,其中 m > n，我们有

即期测度里的一组年限结构正好是 LIBOR Market Model (LMM) 下的设置，上式中 m-n 个 L_i(T_i) 就是 LMM 里面都有各自的 SDE，可用来估值 V(t)。

2.4

掉期测度

给定一组期限结构 0 ≤ T₀ < T₁ < … < T_N，其中 τ_n= T_n+1 – T_n。年金（annuity）定义为从 T₁到 T_N上支付单位现金流的现值。

由于年金可看出是一组零息债的组合，因此可作为等价物，对应的测度是掉期测度。

掉期测度（swap measure）的名字来由是在此测度下，远期掉期利率（forward swap rate）是鞅。

• 该测度对应的等价物是年金 A_0,N(t)

• 该测度用 Q^A 来表示，期望符号用 E^A 表示

 

我们知道 V(t)/A_0,N(t) 在 Q^A测度下是鞅，因此

从 Q 测度转到 Q^A测度对应的 RN 导数为

在 Q^A测度下求利率掉期期权（IR swaption）非常简单。对标的是支付固定端掉期的期权（payer swaption），在到期日 T 时的支付函数为

其中 S_0,N(T) 是远期掉期利率，等于在 T 点观察到的在 [T₀, T_N] 期间利率掉期的平价掉期利率（par swap rate），K 是行权利率。

根据远期掉期利率的定义

从上式可看出，远期掉期利率可表示成两个可交易资产的商，分子是 T₀点到期和 T_N点到期的零息债之差，分母是年金。那么远期掉期利率在 Q^A测度下是鞅。

下面来推导掉期期权公式，先从 Q 测度开始列出公式，再转换到 Q^A 测度，因为掉期期权支付函数中的远期掉期利率在此测度下是鞅，这样会简化推导过程（支付函数用红色表示，RN 导数用蓝色表示）。

当 S_0,N(T) 在 Q^A测度下是鞅，最后一行求期望就是一个简单的 BLACK 公式的推导。

2.5

终端测度

终端测度（terminal measure）是 T-远期测度的一个特例，在给定一组期限结构 0 ≤ T₀ < T₁ < … < T_N中，我们在最终期限 T_N上采用 T-远期测度作为终端测度。

• 该测度对应的等价物是零息债 P(t,T_N)

• 该测度用 Q^T­_N 来表示，期望符号用 E^T_N 表示

 

对于到期日为 T 的金融产品，其中 T < T_N，我们有以下公式。

期望里的 V(T)/P(t,T_N) 可以理解成，把 T 点的收益 V(T) 投资到零息债 P(T,T_N) 至 T_N点得到的总收益。这样把产品的现金流想象发生在 T_N，从而和等价物 P(t,T_N) 的到期日 T_N一致。

终端测度在马尔科夫模型（Markov Functional Model, MFM）中使用到。

2.6

混合测度

首先看一个很重要的推导，

在 T 点上观察在 [T, T_N] 之间，V(T)/P(t,T_N) 和 V(T)/(β(T)/β(T_N)) 是等价的。

因此我们有

再回到 T-远期测度的等价物 - 零息债 P(t,T)，它有个条件是 t ≤ T。当 t > T 时，零息债已到期，按理说这个等价物已不存在了。但如果我们把 P(T,T)，即零息债在到期日上的收益 1 投资到银行存款上，这样在任何一个大于 T 的时点 t，该「产品」的价格为

让我们把这个人造产品用 ~P(t, T) 表示，其中 t 可以是任意值，我们有

显然 ~P(t, T) 可以当成等价物，对应的测度符号用 Q^~T­ 表示，期望符号用 E^~T­ 表示，

---

情况一：如果被估值的金融产品到期日为 T，t< T，那么

这就是普通 T-远期测度下的估值公式。

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情况二：如果被估值的金融产品到期日为 T_N，其中 T_N > T 但 t < T，那么

这就是普通风险中性测度下的估值公式。

这种「一会儿是 A 测度一会儿是 B 测度」的测度称为混合测度（hybrid measure），具体到「一会儿是 T-远期测度一会儿是风险中性测度」的测度称为延伸版 T-远期测度（extended T-forward measure）。

延伸版 T-远期测度在最近 Lyashenko A. 和 Mercurio F. 的Looking Forward to Backward-Looking Rates 中大放异彩。仅仅就把 P(t, T) 里面 t ≤ T 条件放宽，定义出当 t > T 时的 P(t, T) = β(t)/β(T)，用这样延伸的 P(t, T) 当等价物，就可以把原来 LIBOR Market Model (LMM) 延伸到 Forward Market Model (FMM)。

FMM 整个框架价值极高，它即可以处理前瞻型（forward-looking）利率比如 LIBOR，又可以处理后顾型（backward-looking）利率比如带期限的 SOFR，真是「一统江湖」的利率模型大杀器。更妙的是，实现 FMM 只需在 LMM 基础做少量变动，没有增加过多的人力资源。在 2021 年底 LIBOR 终止之后，FMM 为「和 SOFR 挂钩」的期权提供了一套严谨而又完整的方法论。

2.7

股票测度

拿标的为股票的欧式看期权举例，在 T 点时的支付函数为

其中 S(T) 是 T 点股票的即期价格，K 是行权价格。

在定价股票期权时，比起股票价格，利率对期权价格的影响要小得多，因此把利率当成确定变量甚至常数。在风险中性测度下的估值公式为

第二项计算起来非常简单，计算一个简单的 S(T) 大于 K 的概率，但是第一项有些复杂，里面 S(T) 出现了两次。

先做点基本工作，在Q 测度下 S(t) 的 SDE 和它的解 S(T) 为

那么第二项为

第一项直接算有些困难，但如果转换测度呢？用股票基金 S(t)·e^qt做等价物如何？测度用 Q^S 表示，期望符号用 E^S表示，现在来推导第一项

这化简得和第二项基本一样了嘛，只不过一个在 Q 测度下，一个在 Q^S测度下，计算 S(T) 大于 K 的概率。那么 S(t) 的 SDE 在 Q 测度和 Q^S测度下一样吗？不一样的话怎么做转化？

这个就是下节的内容 – 吉尔萨诺夫定理（Girsanov’s Theorem）。利用该定理证明出转换测度就是转换漂移项。只要掌握了这个技术，你终将变成推导帝！

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