基于局部平面拟合的法向估计

       这篇文章的定位我也不知道算不算是原创，但是我选择翻译是觉得这里面的很多内容是通过整理他人的结论所得，希望对做点云相关的同行人有所帮助（当然针对初级者啦，因为本人也是初级者，第一次写博客，欢迎互相交流）

       点云重建过程中法向估计是一个非常重要的环节，有了法向量的信息才能通过点云得到面元信息。本文采用的方法是基于局部平面拟合的方法，最早由Hoppe等在基于有向距离函数的表面重建算法中提出，原文如下图所示：

       文中所指的有向距离函数即，其中 表示任意点， 表示平面的中心， 表示平面的法向量。如果某点 在平面上，那么，所以由集合 构成的平面为所求平面，即最小二乘意义上的平面拟合。

       有的论文中，给出的公式是 ，其中 表示任意点， 表示平面法向量， 应该表示坐标原点到平面的距离（这一项有的论文写的是坐标原点到平面的距离，有的写的是坐标原点到点 的距离，但我觉得是前者）。这个公式与有向距离函数是一样的，将有向距离函数的括号打开，那么 就表示 这一项，所以它的几何意义应该是原点到平面的距离。

        那么如何根据上述公式计算法向量呢？论文中提到，可以通过对点 对应的协方差矩阵作主元分析，求得特征向量，那么在 的情况下，最小特征值对应的特征向量即为所求的法向量。这一结论困扰我很久，后来在一博客上看到“证明 的最小二乘解是 最小特征值对应的特征向量”，算是能够解释上述结论。证明如下：

        如果 ，那么 。令，则。该方程的最小二乘可以表示为，设 的特征值为，则 （参考博客上的证明写的是 ，没有平方，但我觉得应该加上平方，不过这不影响对证明过程的理解），因此最小特征值对应的特征向量即为最优解，问题得证。